Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31649 / 38622
↖ ↑ ↗
← S 30.590637°
W  6.146851°		 ← 525.78 m → S 30.590637°
W  6.141358°		 →
↑
525.73 m
↓
↑
525.73 m
↓
S 30.595365°
W  6.146851°		 ← 525.76 m →
276 415 m²		 S 30.595365°
W  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482933044433594 y=0.589332580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482933044433594 × 216)
    floor (0.482933044433594 × 65536)
    floor (31649.5)     		tx = 31649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589332580566406 × 216)
    floor (0.589332580566406 × 65536)
    floor (38622.5)     		ty = 38622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31649 / 38622 ti = "16/31649/38622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31649/38622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31649 ÷ 216
    31649 ÷ 65536     		x = 0.482925415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38622 ÷ 216
    38622 ÷ 65536     		y = 0.589324951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482925415039062 × 2 - 1) × π
    -0.034149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10728278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589324951171875 × 2 - 1) × π
    -0.17864990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561245220751617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10728278} λ = -0.10728278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561245220751617))-π/2
    2×atan(0.570498225136407)-π/2
    2×0.518444495203467-π/2
    1.03688899040693-1.57079632675     		φ = -0.53390734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10728278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53390734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.590637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31649 KachelY 38622 -0.10728278 -0.53390734 -6.146851 -30.590637
    Oben rechts KachelX + 1 31650 KachelY 38622 -0.10718691 -0.53390734 -6.141358 -30.590637
    Unten links KachelX 31649 KachelY + 1 38623 -0.10728278 -0.53398986 -6.146851 -30.595365
    Unten rechts KachelX + 1 31650 KachelY + 1 38623 -0.10718691 -0.53398986 -6.141358 -30.595365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53390734--0.53398986) × R
    8.25200000000859e-05 × 6371000     		dl = 525.734920000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53390734--0.53398986) × R
    8.25200000000859e-05 × 6371000     		dr = 525.734920000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10728278--0.10718691) × cos(-0.53390734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860825198534213 × 6371000     		do = 525.781503372507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10728278--0.10718691) × cos(-0.53398986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860783201113112 × 6371000     		du = 525.755851861328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53390734)-sin(-0.53398986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860825198534213-0.860783201113112)×R²
    abs(-0.10718691--0.10728278)×4.19974211006702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19974211006702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19974211006702e-05×40589641000000     		ar = 276414.953822634m²