Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31649 / 38620
↖ ↑ ↗
← S 30.581179°
W  6.146851°		 ← 525.83 m → S 30.581179°
W  6.141358°		 →
↑
525.80 m
↓
↑
525.80 m
↓
S 30.585908°
W  6.146851°		 ← 525.81 m →
276 475 m²		 S 30.585908°
W  6.141358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482933044433594 y=0.589302062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482933044433594 × 216)
    floor (0.482933044433594 × 65536)
    floor (31649.5)     		tx = 31649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589302062988281 × 216)
    floor (0.589302062988281 × 65536)
    floor (38620.5)     		ty = 38620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31649 / 38620 ti = "16/31649/38620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31649/38620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31649 ÷ 216
    31649 ÷ 65536     		x = 0.482925415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38620 ÷ 216
    38620 ÷ 65536     		y = 0.58929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482925415039062 × 2 - 1) × π
    -0.034149169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10728278
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58929443359375 × 2 - 1) × π
    -0.1785888671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.561053473153137
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10728278} λ = -0.10728278}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561053473153137))-π/2
    2×atan(0.570607627289479)-π/2
    2×0.518527029812352-π/2
    1.0370540596247-1.57079632675     		φ = -0.53374227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10728278} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.146851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53374227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.581179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31649 KachelY 38620 -0.10728278 -0.53374227 -6.146851 -30.581179
    Oben rechts KachelX + 1 31650 KachelY 38620 -0.10718691 -0.53374227 -6.141358 -30.581179
    Unten links KachelX 31649 KachelY + 1 38621 -0.10728278 -0.53382480 -6.146851 -30.585908
    Unten rechts KachelX + 1 31650 KachelY + 1 38621 -0.10718691 -0.53382480 -6.141358 -30.585908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53374227--0.53382480) × R
    8.25300000000251e-05 × 6371000     		dl = 525.79863000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53374227--0.53382480) × R
    8.25300000000251e-05 × 6371000     		dr = 525.79863000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10728278--0.10718691) × cos(-0.53374227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86090919105339 × 6371000     		do = 525.832804975993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10728278--0.10718691) × cos(-0.53382480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.860867200270075 × 6371000     		du = 525.807157519091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53374227)-sin(-0.53382480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86090919105339-0.860867200270075)×R²
    abs(-0.10718691--0.10728278)×4.19907833152378e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19907833152378e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19907833152378e-05×40589641000000     		ar = 276475.425923946m²