Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31648 / 17567
↖ ↑ ↗
← N 78.543589°
W 93.076172°		 ← 60.65 m → N 78.543589°
W 93.073425°		 →
↑
60.72 m
↓
↑
60.72 m
↓
N 78.543043°
W 93.076172°		 ← 60.65 m →
3 683 m²		 N 78.543043°
W 93.073425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.241458892822266 y=0.134029388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.241458892822266 × 217)
    floor (0.241458892822266 × 131072)
    floor (31648.5)     		tx = 31648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134029388427734 × 217)
    floor (0.134029388427734 × 131072)
    floor (17567.5)     		ty = 17567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31648 / 17567 ti = "17/31648/17567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31648/17567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31648 ÷ 217
    31648 ÷ 131072     		x = 0.241455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17567 ÷ 217
    17567 ÷ 131072     		y = 0.134025573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.241455078125 × 2 - 1) × π
    -0.51708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.62448565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134025573730469 × 2 - 1) × π
    0.731948852539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.29948513787447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.62448565} λ = -1.62448565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29948513787447))-π/2
    2×atan(9.96904844780194)-π/2
    2×1.47082028129253-π/2
    2.94164056258506-1.57079632675     		φ = 1.37084424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.62448565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37084424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.543589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31648 KachelY 17567 -1.62448565 1.37084424 -93.076172 78.543589
    Oben rechts KachelX + 1 31649 KachelY 17567 -1.62443772 1.37084424 -93.073425 78.543589
    Unten links KachelX 31648 KachelY + 1 17568 -1.62448565 1.37083471 -93.076172 78.543043
    Unten rechts KachelX + 1 31649 KachelY + 1 17568 -1.62443772 1.37083471 -93.073425 78.543043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37084424-1.37083471) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dl = 60.7156300002252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37084424-1.37083471) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dr = 60.7156300002252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.62448565--1.62443772) × cos(1.37084424) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19862237243608 × 6371000     		do = 60.6517308505345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.62448565--1.62443772) × cos(1.37083471) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.198631712552251 × 6371000     		du = 60.6545829673691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37084424)-sin(1.37083471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19862237243608-0.198631712552251)×R²
    abs(-1.62443772--1.62448565)×9.34011617143016e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.34011617143016e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.34011617143016e-06×40589641000000     		ar = 3682.59463339732m²