Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31647 / 38541
↖ ↑ ↗
← S 30.206861°
W  6.157837°		 ← 527.85 m → S 30.206861°
W  6.152344°		 →
↑
527.90 m
↓
↑
527.90 m
↓
S 30.211608°
W  6.157837°		 ← 527.83 m →
278 647 m²		 S 30.211608°
W  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482902526855469 y=0.588096618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482902526855469 × 216)
    floor (0.482902526855469 × 65536)
    floor (31647.5)     		tx = 31647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588096618652344 × 216)
    floor (0.588096618652344 × 65536)
    floor (38541.5)     		ty = 38541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31647 / 38541 ti = "16/31647/38541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31647/38541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31647 ÷ 216
    31647 ÷ 65536     		x = 0.482894897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38541 ÷ 216
    38541 ÷ 65536     		y = 0.588088989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482894897460938 × 2 - 1) × π
    -0.034210205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10747453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588088989257812 × 2 - 1) × π
    -0.176177978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.553479443013168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10747453} λ = -0.10747453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553479443013168))-π/2
    2×atan(0.574945834775033)-π/2
    2×0.521793572257605-π/2
    1.04358714451521-1.57079632675     		φ = -0.52720918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10747453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.157837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52720918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.206861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31647 KachelY 38541 -0.10747453 -0.52720918 -6.157837 -30.206861
    Oben rechts KachelX + 1 31648 KachelY 38541 -0.10737866 -0.52720918 -6.152344 -30.206861
    Unten links KachelX 31647 KachelY + 1 38542 -0.10747453 -0.52729204 -6.157837 -30.211608
    Unten rechts KachelX + 1 31648 KachelY + 1 38542 -0.10737866 -0.52729204 -6.152344 -30.211608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52720918--0.52729204) × R
    8.28599999999069e-05 × 6371000     		dl = 527.901059999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52720918--0.52729204) × R
    8.28599999999069e-05 × 6371000     		dr = 527.901059999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10747453--0.10737866) × cos(-0.52720918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864214561182319 × 6371000     		do = 527.851684626066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10747453--0.10737866) × cos(-0.52729204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864172869407675 × 6371000     		du = 527.826219800003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52720918)-sin(-0.52729204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864214561182319-0.864172869407675)×R²
    abs(-0.10737866--0.10747453)×4.16917746445256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16917746445256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16917746445256e-05×40589641000000     		ar = 278646.742541856m²