Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31644 / 38520
↖ ↑ ↗
← S 30.107118°
W  6.174316°		 ← 528.39 m → S 30.107118°
W  6.168823°		 →
↑
528.35 m
↓
↑
528.35 m
↓
S 30.111870°
W  6.174316°		 ← 528.36 m →
279 164 m²		 S 30.111870°
W  6.168823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482856750488281 y=0.587776184082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482856750488281 × 216)
    floor (0.482856750488281 × 65536)
    floor (31644.5)     		tx = 31644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587776184082031 × 216)
    floor (0.587776184082031 × 65536)
    floor (38520.5)     		ty = 38520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31644 / 38520 ti = "16/31644/38520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31644/38520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31644 ÷ 216
    31644 ÷ 65536     		x = 0.48284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38520 ÷ 216
    38520 ÷ 65536     		y = 0.5877685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48284912109375 × 2 - 1) × π
    -0.0343017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10776215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.551466093229126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10776215} λ = -0.10776215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551466093229126))-π/2
    2×atan(0.576104567923463)-π/2
    2×0.522663995696346-π/2
    1.04532799139269-1.57079632675     		φ = -0.52546834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10776215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.174316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52546834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.107118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31644 KachelY 38520 -0.10776215 -0.52546834 -6.174316 -30.107118
    Oben rechts KachelX + 1 31645 KachelY 38520 -0.10766628 -0.52546834 -6.168823 -30.107118
    Unten links KachelX 31644 KachelY + 1 38521 -0.10776215 -0.52555127 -6.174316 -30.111870
    Unten rechts KachelX + 1 31645 KachelY + 1 38521 -0.10766628 -0.52555127 -6.168823 -30.111870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52546834--0.52555127) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dl = 528.347030000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52546834--0.52555127) × R
    8.29300000000366e-05 × 6371000     		dr = 528.347030000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10776215--0.10766628) × cos(-0.52546834) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86508910863182 × 6371000     		do = 528.385847512505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10776215--0.10766628) × cos(-0.52555127) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86504750645848 × 6371000     		du = 528.360437413824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52546834)-sin(-0.52555127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86508910863182-0.86504750645848)×R²
    abs(-0.10766628--0.10776215)×4.16021733394834e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16021733394834e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16021733394834e-05×40589641000000     		ar = 279164.380712604m²