Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31643 / 38513
↖ ↑ ↗
← S 30.073848°
W  6.179809°		 ← 528.56 m → S 30.073848°
W  6.174316°		 →
↑
528.60 m
↓
↑
528.60 m
↓
S 30.078601°
W  6.179809°		 ← 528.54 m →
279 393 m²		 S 30.078601°
W  6.174316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482841491699219 y=0.587669372558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482841491699219 × 216)
    floor (0.482841491699219 × 65536)
    floor (31643.5)     		tx = 31643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587669372558594 × 216)
    floor (0.587669372558594 × 65536)
    floor (38513.5)     		ty = 38513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31643 / 38513 ti = "16/31643/38513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31643/38513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31643 ÷ 216
    31643 ÷ 65536     		x = 0.482833862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38513 ÷ 216
    38513 ÷ 65536     		y = 0.587661743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482833862304688 × 2 - 1) × π
    -0.034332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10785802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587661743164062 × 2 - 1) × π
    -0.175323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.550794976634445
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10785802} λ = -0.10785802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550794976634445))-π/2
    2×atan(0.57649133102632)-π/2
    2×0.522954332376501-π/2
    1.045908664753-1.57079632675     		φ = -0.52488766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10785802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.179809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52488766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.073848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31643 KachelY 38513 -0.10785802 -0.52488766 -6.179809 -30.073848
    Oben rechts KachelX + 1 31644 KachelY 38513 -0.10776215 -0.52488766 -6.174316 -30.073848
    Unten links KachelX 31643 KachelY + 1 38514 -0.10785802 -0.52497063 -6.179809 -30.078601
    Unten rechts KachelX + 1 31644 KachelY + 1 38514 -0.10776215 -0.52497063 -6.174316 -30.078601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52488766--0.52497063) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dl = 528.601870000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52488766--0.52497063) × R
    8.29700000000155e-05 × 6371000     		dr = 528.601870000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10785802--0.10776215) × cos(-0.52488766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865380242431455 × 6371000     		do = 528.563668476756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10785802--0.10776215) × cos(-0.52497063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865338661875674 × 6371000     		du = 528.538271581815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52488766)-sin(-0.52497063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865380242431455-0.865338661875674)×R²
    abs(-0.10776215--0.10785802)×4.15805557810733e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15805557810733e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15805557810733e-05×40589641000000     		ar = 279393.031308145m²