Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3164 / 4572
↖ ↑ ↗
← N 61.980268°
W110.478516°		 ← 1 147.76 m → N 61.980268°
W110.456543°		 →
↑
1 147.99 m
↓
↑
1 147.99 m
↓
N 61.969943°
W110.478516°		 ← 1 148.15 m →
1 317 844 m²		 N 61.969943°
W110.456543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.193145751953125 y=0.279083251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.193145751953125 × 214)
    floor (0.193145751953125 × 16384)
    floor (3164.5)     		tx = 3164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279083251953125 × 214)
    floor (0.279083251953125 × 16384)
    floor (4572.5)     		ty = 4572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3164 / 4572 ti = "14/3164/4572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3164/4572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3164 ÷ 214
    3164 ÷ 16384     		x = 0.193115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4572 ÷ 214
    4572 ÷ 16384     		y = 0.279052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.193115234375 × 2 - 1) × π
    -0.61376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.92821385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279052734375 × 2 - 1) × π
    0.44189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38825261299683
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.92821385} λ = -1.92821385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38825261299683))-π/2
    2×atan(4.00784068201729)-π/2
    2×1.32627803090867-π/2
    2.65255606181734-1.57079632675     		φ = 1.08175974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.92821385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -110.478516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08175974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.980268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3164 KachelY 4572 -1.92821385 1.08175974 -110.478516 61.980268
    Oben rechts KachelX + 1 3165 KachelY 4572 -1.92783036 1.08175974 -110.456543 61.980268
    Unten links KachelX 3164 KachelY + 1 4573 -1.92821385 1.08157955 -110.478516 61.969943
    Unten rechts KachelX + 1 3165 KachelY + 1 4573 -1.92783036 1.08157955 -110.456543 61.969943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08175974-1.08157955) × R
    0.000180190000000024 × 6371000     		dl = 1147.99049000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08175974-1.08157955) × R
    0.000180190000000024 × 6371000     		dr = 1147.99049000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.92821385--1.92783036) × cos(1.08175974) × R
    0.000383489999999931 × 0.469775618766152 × 6371000     		do = 1147.76273975066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.92821385--1.92783036) × cos(1.08157955) × R
    0.000383489999999931 × 0.469934680322291 × 6371000     		du = 1148.15136129714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08175974)-sin(1.08157955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.469775618766152-0.469934680322291)×R²
    abs(-1.92783036--1.92821385)×0.000159061556138984×R²
    0.000383489999999931×0.000159061556138984×6371000²
    0.000383489999999931×0.000159061556138984×40589641000000     		ar = 1317843.78049677m²