Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3164 / 3084
↖ ↑ ↗
← S 66.930060°
E 98.085938°		 ← 3 829.59 m → S 66.930060°
E 98.173828°		 →
↑
3 826.87 m
↓
↑
3 826.87 m
↓
S 66.964476°
E 98.085938°		 ← 3 824.19 m →
14 644 997 m²		 S 66.964476°
E 98.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7725830078125 y=0.7530517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7725830078125 × 212)
    floor (0.7725830078125 × 4096)
    floor (3164.5)     		tx = 3164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7530517578125 × 212)
    floor (0.7530517578125 × 4096)
    floor (3084.5)     		ty = 3084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3164 / 3084 ti = "12/3164/3084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3164/3084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3164 ÷ 212
    3164 ÷ 4096     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3084 ÷ 212
    3084 ÷ 4096     		y = 0.7529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7529296875 × 2 - 1) × π
    -0.505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5892040962041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5892040962041))-π/2
    2×atan(0.204087981509463)-π/2
    2×0.201323203370746-π/2
    0.402646406741491-1.57079632675     		φ = -1.16814992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16814992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.930060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3164 KachelY 3084 1.71192256 -1.16814992 98.085938 -66.930060
    Oben rechts KachelX + 1 3165 KachelY 3084 1.71345654 -1.16814992 98.173828 -66.930060
    Unten links KachelX 3164 KachelY + 1 3085 1.71192256 -1.16875059 98.085938 -66.964476
    Unten rechts KachelX + 1 3165 KachelY + 1 3085 1.71345654 -1.16875059 98.173828 -66.964476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16814992--1.16875059) × R
    0.000600669999999859 × 6371000     		dl = 3826.8685699991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16814992--1.16875059) × R
    0.000600669999999859 × 6371000     		dr = 3826.8685699991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71345654) × cos(-1.16814992) × R
    0.00153397999999982 × 0.3918544778977 × 6371000     		do = 3829.58855380669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71345654) × cos(-1.16875059) × R
    0.00153397999999982 × 0.391301774494954 × 6371000     		du = 3824.18699086893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16814992)-sin(-1.16875059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3918544778977-0.391301774494954)×R²
    abs(1.71345654-1.71192256)×0.000552703402745935×R²
    0.00153397999999982×0.000552703402745935×6371000²
    0.00153397999999982×0.000552703402745935×40589641000000     		ar = 14644996.9772037m²