Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3164 / 3061
↖ ↑ ↗
← S 66.124962°
E 98.085938°		 ← 3 955.55 m → S 66.124962°
E 98.173828°		 →
↑
3 952.76 m
↓
↑
3 952.76 m
↓
S 66.160510°
E 98.085938°		 ← 3 950 m →
15 624 379 m²		 S 66.160510°
E 98.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7725830078125 y=0.7474365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7725830078125 × 212)
    floor (0.7725830078125 × 4096)
    floor (3164.5)     		tx = 3164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7474365234375 × 212)
    floor (0.7474365234375 × 4096)
    floor (3061.5)     		ty = 3061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3164 / 3061 ti = "12/3164/3061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3164/3061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3164 ÷ 212
    3164 ÷ 4096     		x = 0.7724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3061 ÷ 212
    3061 ÷ 4096     		y = 0.747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7724609375 × 2 - 1) × π
    0.544921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.71192256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.49462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55392253808374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.71192256} λ = 1.71192256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55392253808374))-π/2
    2×atan(0.211417053789355)-π/2
    2×0.208349007894193-π/2
    0.416698015788386-1.57079632675     		φ = -1.15409831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.71192256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 98.085938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15409831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.124962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3164 KachelY 3061 1.71192256 -1.15409831 98.085938 -66.124962
    Oben rechts KachelX + 1 3165 KachelY 3061 1.71345654 -1.15409831 98.173828 -66.124962
    Unten links KachelX 3164 KachelY + 1 3062 1.71192256 -1.15471874 98.085938 -66.160510
    Unten rechts KachelX + 1 3165 KachelY + 1 3062 1.71345654 -1.15471874 98.173828 -66.160510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15409831--1.15471874) × R
    0.000620430000000116 × 6371000     		dl = 3952.75953000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15409831--1.15471874) × R
    0.000620430000000116 × 6371000     		dr = 3952.75953000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.71192256-1.71345654) × cos(-1.15409831) × R
    0.00153397999999982 × 0.404743231269634 × 6371000     		do = 3955.55016754351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.71192256-1.71345654) × cos(-1.15471874) × R
    0.00153397999999982 × 0.40417581336684 × 6371000     		du = 3950.00479999426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15409831)-sin(-1.15471874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.404743231269634-0.40417581336684)×R²
    abs(1.71345654-1.71192256)×0.000567417902793688×R²
    0.00153397999999982×0.000567417902793688×6371000²
    0.00153397999999982×0.000567417902793688×40589641000000     		ar = 15624379.3701321m²