Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31638 / 19575
↖ ↑ ↗
← N 58.473593°
W  6.207275°		 ← 319.38 m → N 58.473593°
W  6.201782°		 →
↑
319.44 m
↓
↑
319.44 m
↓
N 58.470721°
W  6.207275°		 ← 319.40 m →
102 026 m²		 N 58.470721°
W  6.201782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482765197753906 y=0.298698425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482765197753906 × 216)
    floor (0.482765197753906 × 65536)
    floor (31638.5)     		tx = 31638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298698425292969 × 216)
    floor (0.298698425292969 × 65536)
    floor (19575.5)     		ty = 19575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31638 / 19575 ti = "16/31638/19575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31638/19575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31638 ÷ 216
    31638 ÷ 65536     		x = 0.482757568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19575 ÷ 216
    19575 ÷ 65536     		y = 0.298690795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482757568359375 × 2 - 1) × π
    -0.03448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10833739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298690795898438 × 2 - 1) × π
    0.402618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2648630333748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10833739} λ = -0.10833739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2648630333748))-π/2
    2×atan(3.54260748388659)-π/2
    2×1.29567652740617-π/2
    2.59135305481234-1.57079632675     		φ = 1.02055673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10833739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.207275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02055673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.473593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31638 KachelY 19575 -0.10833739 1.02055673 -6.207275 58.473593
    Oben rechts KachelX + 1 31639 KachelY 19575 -0.10824152 1.02055673 -6.201782 58.473593
    Unten links KachelX 31638 KachelY + 1 19576 -0.10833739 1.02050659 -6.207275 58.470721
    Unten rechts KachelX + 1 31639 KachelY + 1 19576 -0.10824152 1.02050659 -6.201782 58.470721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02055673-1.02050659) × R
    5.01399999999208e-05 × 6371000     		dl = 319.441939999495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02055673-1.02050659) × R
    5.01399999999208e-05 × 6371000     		dr = 319.441939999495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10833739--0.10824152) × cos(1.02055673) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.522891476068907 × 6371000     		do = 319.375718620175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10833739--0.10824152) × cos(1.02050659) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.522934214710676 × 6371000     		du = 319.401822859874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02055673)-sin(1.02050659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522891476068907-0.522934214710676)×R²
    abs(-0.10824152--0.10833739)×4.2738641769402e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.2738641769402e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.2738641769402e-05×40589641000000     		ar = 102026.168560901m²