Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31637 / 38739
↖ ↑ ↗
← S 31.142305°
W  6.212769°		 ← 522.82 m → S 31.142305°
W  6.207275°		 →
↑
522.74 m
↓
↑
522.74 m
↓
S 31.147006°
W  6.212769°		 ← 522.79 m →
273 292 m²		 S 31.147006°
W  6.207275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482749938964844 y=0.591117858886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482749938964844 × 216)
    floor (0.482749938964844 × 65536)
    floor (31637.5)     		tx = 31637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591117858886719 × 216)
    floor (0.591117858886719 × 65536)
    floor (38739.5)     		ty = 38739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31637 / 38739 ti = "16/31637/38739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31637/38739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31637 ÷ 216
    31637 ÷ 65536     		x = 0.482742309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38739 ÷ 216
    38739 ÷ 65536     		y = 0.591110229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482742309570312 × 2 - 1) × π
    -0.034515380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10843327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591110229492188 × 2 - 1) × π
    -0.182220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.572462455262711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10843327} λ = -0.10843327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572462455262711))-π/2
    2×atan(0.564134570784639)-π/2
    2×0.513630284770955-π/2
    1.02726056954191-1.57079632675     		φ = -0.54353576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10843327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.212769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54353576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.142305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31637 KachelY 38739 -0.10843327 -0.54353576 -6.212769 -31.142305
    Oben rechts KachelX + 1 31638 KachelY 38739 -0.10833739 -0.54353576 -6.207275 -31.142305
    Unten links KachelX 31637 KachelY + 1 38740 -0.10843327 -0.54361781 -6.212769 -31.147006
    Unten rechts KachelX + 1 31638 KachelY + 1 38740 -0.10833739 -0.54361781 -6.207275 -31.147006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54353576--0.54361781) × R
    8.20499999999447e-05 × 6371000     		dl = 522.740549999647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54353576--0.54361781) × R
    8.20499999999447e-05 × 6371000     		dr = 522.740549999647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10843327--0.10833739) × cos(-0.54353576) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855885462318354 × 6371000     		do = 522.818901367611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10843327--0.10833739) × cos(-0.54361781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855843026014397 × 6371000     		du = 522.792979088532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54353576)-sin(-0.54361781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855885462318354-0.855843026014397)×R²
    abs(-0.10833739--0.10843327)×4.24363039578379e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24363039578379e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24363039578379e-05×40589641000000     		ar = 273291.86489116m²