Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31633 / 38401
↖ ↑ ↗
← S 29.540009°
W  6.234741°		 ← 531.39 m → S 29.540009°
W  6.229248°		 →
↑
531.41 m
↓
↑
531.41 m
↓
S 29.544788°
W  6.234741°		 ← 531.37 m →
282 378 m²		 S 29.544788°
W  6.229248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482688903808594 y=0.585960388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482688903808594 × 216)
    floor (0.482688903808594 × 65536)
    floor (31633.5)     		tx = 31633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585960388183594 × 216)
    floor (0.585960388183594 × 65536)
    floor (38401.5)     		ty = 38401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31633 / 38401 ti = "16/31633/38401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31633/38401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31633 ÷ 216
    31633 ÷ 65536     		x = 0.482681274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38401 ÷ 216
    38401 ÷ 65536     		y = 0.585952758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482681274414062 × 2 - 1) × π
    -0.034637451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10881676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585952758789062 × 2 - 1) × π
    -0.171905517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.540057111119553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10881676} λ = -0.10881676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.540057111119553))-π/2
    2×atan(0.58271497191923)-π/2
    2×0.527612956155341-π/2
    1.05522591231068-1.57079632675     		φ = -0.51557041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10881676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.234741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51557041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.540009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31633 KachelY 38401 -0.10881676 -0.51557041 -6.234741 -29.540009
    Oben rechts KachelX + 1 31634 KachelY 38401 -0.10872089 -0.51557041 -6.229248 -29.540009
    Unten links KachelX 31633 KachelY + 1 38402 -0.10881676 -0.51565382 -6.234741 -29.544788
    Unten rechts KachelX + 1 31634 KachelY + 1 38402 -0.10872089 -0.51565382 -6.229248 -29.544788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51557041--0.51565382) × R
    8.3410000000006e-05 × 6371000     		dl = 531.405110000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51557041--0.51565382) × R
    8.3410000000006e-05 × 6371000     		dr = 531.405110000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10881676--0.10872089) × cos(-0.51557041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870011633927552 × 6371000     		do = 531.392465760654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10881676--0.10872089) × cos(-0.51565382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869970507169395 × 6371000     		du = 531.367346039752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51557041)-sin(-0.51565382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870011633927552-0.869970507169395)×R²
    abs(-0.10872089--0.10881676)×4.11267581578167e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11267581578167e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11267581578167e-05×40589641000000     		ar = 282377.997510424m²