Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31632 / 38322
↖ ↑ ↗
← S 29.161756°
W  6.240235°		 ← 533.42 m → S 29.161756°
W  6.234741°		 →
↑
533.38 m
↓
↑
533.38 m
↓
S 29.166552°
W  6.240235°		 ← 533.40 m →
284 511 m²		 S 29.166552°
W  6.234741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482673645019531 y=0.584754943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482673645019531 × 216)
    floor (0.482673645019531 × 65536)
    floor (31632.5)     		tx = 31632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584754943847656 × 216)
    floor (0.584754943847656 × 65536)
    floor (38322.5)     		ty = 38322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31632 / 38322 ti = "16/31632/38322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31632/38322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31632 ÷ 216
    31632 ÷ 65536     		x = 0.482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38322 ÷ 216
    38322 ÷ 65536     		y = 0.584747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482666015625 × 2 - 1) × π
    -0.03466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10891264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584747314453125 × 2 - 1) × π
    -0.16949462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532483080979584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10891264} λ = -0.10891264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532483080979584))-π/2
    2×atan(0.587145228950902)-π/2
    2×0.530913838702042-π/2
    1.06182767740408-1.57079632675     		φ = -0.50896865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10891264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.240235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50896865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.161756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31632 KachelY 38322 -0.10891264 -0.50896865 -6.240235 -29.161756
    Oben rechts KachelX + 1 31633 KachelY 38322 -0.10881676 -0.50896865 -6.234741 -29.161756
    Unten links KachelX 31632 KachelY + 1 38323 -0.10891264 -0.50905237 -6.240235 -29.166552
    Unten rechts KachelX + 1 31633 KachelY + 1 38323 -0.10881676 -0.50905237 -6.234741 -29.166552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50896865--0.50905237) × R
    8.37200000000093e-05 × 6371000     		dl = 533.380120000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50896865--0.50905237) × R
    8.37200000000093e-05 × 6371000     		dr = 533.380120000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10891264--0.10881676) × cos(-0.50896865) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.873247524998437 × 6371000     		do = 533.424543051668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10891264--0.10881676) × cos(-0.50905237) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.873206727117581 × 6371000     		du = 533.399621605767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50896865)-sin(-0.50905237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873247524998437-0.873206727117581)×R²
    abs(-0.10881676--0.10891264)×4.07978808564247e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.07978808564247e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.07978808564247e-05×40589641000000     		ar = 284511.400648155m²