Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31631 / 38323
↖ ↑ ↗
← S 29.166552°
W  6.245728°		 ← 533.34 m → S 29.166552°
W  6.240235°		 →
↑
533.32 m
↓
↑
533.32 m
↓
S 29.171349°
W  6.245728°		 ← 533.32 m →
284 434 m²		 S 29.171349°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482658386230469 y=0.584770202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482658386230469 × 216)
    floor (0.482658386230469 × 65536)
    floor (31631.5)     		tx = 31631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584770202636719 × 216)
    floor (0.584770202636719 × 65536)
    floor (38323.5)     		ty = 38323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31631 / 38323 ti = "16/31631/38323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31631/38323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31631 ÷ 216
    31631 ÷ 65536     		x = 0.482650756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38323 ÷ 216
    38323 ÷ 65536     		y = 0.584762573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482650756835938 × 2 - 1) × π
    -0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584762573242188 × 2 - 1) × π
    -0.169525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.532578954778824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10900851} λ = -0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532578954778824))-π/2
    2×atan(0.587088939805467)-π/2
    2×0.530871978900919-π/2
    1.06174395780184-1.57079632675     		φ = -0.50905237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50905237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.166552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31631 KachelY 38323 -0.10900851 -0.50905237 -6.245728 -29.166552
    Oben rechts KachelX + 1 31632 KachelY 38323 -0.10891264 -0.50905237 -6.240235 -29.166552
    Unten links KachelX 31631 KachelY + 1 38324 -0.10900851 -0.50913608 -6.245728 -29.171349
    Unten rechts KachelX + 1 31632 KachelY + 1 38324 -0.10891264 -0.50913608 -6.240235 -29.171349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50905237--0.50913608) × R
    8.37099999999591e-05 × 6371000     		dl = 533.316409999739m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50905237--0.50913608) × R
    8.37099999999591e-05 × 6371000     		dr = 533.316409999739m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10900851--0.10891264) × cos(-0.50905237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873206727117581 × 6371000     		do = 533.343989605134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10900851--0.10891264) × cos(-0.50913608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.873165927990616 × 6371000     		du = 533.319069997357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50905237)-sin(-0.50913608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873206727117581-0.873165927990616)×R²
    abs(-0.10891264--0.10900851)×4.07991269649743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07991269649743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07991269649743e-05×40589641000000     		ar = 284434.456979282m²