Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31631 / 19471
↖ ↑ ↗
← N 58.771048°
W  6.245728°		 ← 316.67 m → N 58.771048°
W  6.240235°		 →
↑
316.70 m
↓
↑
316.70 m
↓
N 58.768200°
W  6.245728°		 ← 316.69 m →
100 294 m²		 N 58.768200°
W  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482658386230469 y=0.297111511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482658386230469 × 216)
    floor (0.482658386230469 × 65536)
    floor (31631.5)     		tx = 31631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297111511230469 × 216)
    floor (0.297111511230469 × 65536)
    floor (19471.5)     		ty = 19471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31631 / 19471 ti = "16/31631/19471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31631/19471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31631 ÷ 216
    31631 ÷ 65536     		x = 0.482650756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19471 ÷ 216
    19471 ÷ 65536     		y = 0.297103881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482650756835938 × 2 - 1) × π
    -0.034698486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10900851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297103881835938 × 2 - 1) × π
    0.405792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27483390849577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10900851} λ = -0.10900851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27483390849577))-π/2
    2×atan(3.57810706756019)-π/2
    2×1.29827231185646-π/2
    2.59654462371292-1.57079632675     		φ = 1.02574830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10900851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.245728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02574830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.771048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31631 KachelY 19471 -0.10900851 1.02574830 -6.245728 58.771048
    Oben rechts KachelX + 1 31632 KachelY 19471 -0.10891264 1.02574830 -6.240235 58.771048
    Unten links KachelX 31631 KachelY + 1 19472 -0.10900851 1.02569859 -6.245728 58.768200
    Unten rechts KachelX + 1 31632 KachelY + 1 19472 -0.10891264 1.02569859 -6.240235 58.768200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02574830-1.02569859) × R
    4.97100000000916e-05 × 6371000     		dl = 316.702410000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02574830-1.02569859) × R
    4.97100000000916e-05 × 6371000     		dr = 316.702410000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10900851--0.10891264) × cos(1.02574830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518459158929621 × 6371000     		do = 316.668513518692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10900851--0.10891264) × cos(1.02569859) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518501665428924 × 6371000     		du = 316.694475968612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02574830)-sin(1.02569859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518459158929621-0.518501665428924)×R²
    abs(-0.10891264--0.10900851)×4.2506499302597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2506499302597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2506499302597e-05×40589641000000     		ar = 100293.792608404m²