Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31629 / 38728
↖ ↑ ↗
← S 31.090574°
W  6.256714°		 ← 523.10 m → S 31.090574°
W  6.251221°		 →
↑
523.06 m
↓
↑
523.06 m
↓
S 31.095278°
W  6.256714°		 ← 523.08 m →
273 607 m²		 S 31.095278°
W  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482627868652344 y=0.590950012207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482627868652344 × 216)
    floor (0.482627868652344 × 65536)
    floor (31629.5)     		tx = 31629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590950012207031 × 216)
    floor (0.590950012207031 × 65536)
    floor (38728.5)     		ty = 38728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31629 / 38728 ti = "16/31629/38728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31629/38728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31629 ÷ 216
    31629 ÷ 65536     		x = 0.482620239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38728 ÷ 216
    38728 ÷ 65536     		y = 0.5909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482620239257812 × 2 - 1) × π
    -0.034759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10920026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5909423828125 × 2 - 1) × π
    -0.181884765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.571407843471069
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10920026} λ = -0.10920026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571407843471069))-π/2
    2×atan(0.564729827582309)-π/2
    2×0.514081721258338-π/2
    1.02816344251668-1.57079632675     		φ = -0.54263288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10920026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54263288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.090574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31629 KachelY 38728 -0.10920026 -0.54263288 -6.256714 -31.090574
    Oben rechts KachelX + 1 31630 KachelY 38728 -0.10910438 -0.54263288 -6.251221 -31.090574
    Unten links KachelX 31629 KachelY + 1 38729 -0.10920026 -0.54271498 -6.256714 -31.095278
    Unten rechts KachelX + 1 31630 KachelY + 1 38729 -0.10910438 -0.54271498 -6.251221 -31.095278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54263288--0.54271498) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dl = 523.059099999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54263288--0.54271498) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dr = 523.059099999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10920026--0.10910438) × cos(-0.54263288) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856352051717002 × 6371000     		do = 523.103918192327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10920026--0.10910438) × cos(-0.54271498) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.856309653010735 × 6371000     		du = 523.078018879854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54263288)-sin(-0.54271498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856352051717002-0.856309653010735)×R²
    abs(-0.10910438--0.10920026)×4.23987062669884e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.23987062669884e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.23987062669884e-05×40589641000000     		ar = 273607.491374064m²