Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31629 / 19482
↖ ↑ ↗
← N 58.739706°
W  6.256714°		 ← 316.99 m → N 58.739706°
W  6.251221°		 →
↑
317.02 m
↓
↑
317.02 m
↓
N 58.736855°
W  6.256714°		 ← 317.01 m →
100 496 m²		 N 58.736855°
W  6.251221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482627868652344 y=0.297279357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482627868652344 × 216)
    floor (0.482627868652344 × 65536)
    floor (31629.5)     		tx = 31629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297279357910156 × 216)
    floor (0.297279357910156 × 65536)
    floor (19482.5)     		ty = 19482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31629 / 19482 ti = "16/31629/19482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31629/19482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31629 ÷ 216
    31629 ÷ 65536     		x = 0.482620239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19482 ÷ 216
    19482 ÷ 65536     		y = 0.297271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482620239257812 × 2 - 1) × π
    -0.034759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.10920026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297271728515625 × 2 - 1) × π
    0.40545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27377929670413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10920026} λ = -0.10920026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27377929670413))-π/2
    2×atan(3.57433554275181)-π/2
    2×1.29799880199025-π/2
    2.5959976039805-1.57079632675     		φ = 1.02520128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10920026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.256714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02520128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.739706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31629 KachelY 19482 -0.10920026 1.02520128 -6.256714 58.739706
    Oben rechts KachelX + 1 31630 KachelY 19482 -0.10910438 1.02520128 -6.251221 58.739706
    Unten links KachelX 31629 KachelY + 1 19483 -0.10920026 1.02515152 -6.256714 58.736855
    Unten rechts KachelX + 1 31630 KachelY + 1 19483 -0.10910438 1.02515152 -6.251221 58.736855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02520128-1.02515152) × R
    4.97600000000098e-05 × 6371000     		dl = 317.020960000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02520128-1.02515152) × R
    4.97600000000098e-05 × 6371000     		dr = 317.020960000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10920026--0.10910438) × cos(1.02520128) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.518926839447182 × 6371000     		do = 316.987227888009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10920026--0.10910438) × cos(1.02515152) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.518969374581059 × 6371000     		du = 317.01321053749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02520128)-sin(1.02515152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518926839447182-0.518969374581059)×R²
    abs(-0.10910438--0.10920026)×4.25351338777524e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25351338777524e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25351338777524e-05×40589641000000     		ar = 100495.713835913m²