Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31628 / 38388
↖ ↑ ↗
← S 29.477861°
W  6.262207°		 ← 531.72 m → S 29.477861°
W  6.256714°		 →
↑
531.72 m
↓
↑
531.72 m
↓
S 29.482643°
W  6.262207°		 ← 531.69 m →
282 721 m²		 S 29.482643°
W  6.256714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482612609863281 y=0.585762023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482612609863281 × 216)
    floor (0.482612609863281 × 65536)
    floor (31628.5)     		tx = 31628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585762023925781 × 216)
    floor (0.585762023925781 × 65536)
    floor (38388.5)     		ty = 38388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31628 / 38388 ti = "16/31628/38388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31628/38388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31628 ÷ 216
    31628 ÷ 65536     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38388 ÷ 216
    38388 ÷ 65536     		y = 0.58575439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58575439453125 × 2 - 1) × π
    -0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.538810751729431))-π/2
    2×atan(0.583441696982474)-π/2
    2×0.528155296247713-π/2
    1.05631059249543-1.57079632675     		φ = -0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31628 KachelY 38388 -0.10929613 -0.51448573 -6.262207 -29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 31629 KachelY 38388 -0.10920026 -0.51448573 -6.256714 -29.477861
    Unten links KachelX 31628 KachelY + 1 38389 -0.10929613 -0.51456919 -6.262207 -29.482643
    Unten rechts KachelX + 1 31629 KachelY + 1 38389 -0.10920026 -0.51456919 -6.256714 -29.482643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51448573--0.51456919) × R
    8.34600000000352e-05 × 6371000     		dl = 531.723660000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51448573--0.51456919) × R
    8.34600000000352e-05 × 6371000     		dr = 531.723660000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10920026) × cos(-0.51448573) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 531.718790836526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10920026) × cos(-0.51456919) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.870504830467846 × 6371000     		du = 531.693704175749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51448573)-sin(-0.51456919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.870504830467846)×R²
    abs(-0.10920026--0.10929613)×4.10726311321774e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.10726311321774e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.10726311321774e-05×40589641000000     		ar = 282720.792133079m²