Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31628 / 19484
↖ ↑ ↗
← N 58.734005°
W  6.262207°		 ← 317.01 m → N 58.734005°
W  6.256714°		 →
↑
317.08 m
↓
↑
317.08 m
↓
N 58.731153°
W  6.262207°		 ← 317.03 m →
100 522 m²		 N 58.731153°
W  6.256714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482612609863281 y=0.297309875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482612609863281 × 216)
    floor (0.482612609863281 × 65536)
    floor (31628.5)     		tx = 31628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297309875488281 × 216)
    floor (0.297309875488281 × 65536)
    floor (19484.5)     		ty = 19484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31628 / 19484 ti = "16/31628/19484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31628/19484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31628 ÷ 216
    31628 ÷ 65536     		x = 0.48260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19484 ÷ 216
    19484 ÷ 65536     		y = 0.29730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10929613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29730224609375 × 2 - 1) × π
    0.4053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27358754910565
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10929613} λ = -0.10929613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27358754910565))-π/2
    2×atan(3.57365023820018)-π/2
    2×1.29794904642488-π/2
    2.59589809284976-1.57079632675     		φ = 1.02510177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10929613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.262207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02510177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.734005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31628 KachelY 19484 -0.10929613 1.02510177 -6.262207 58.734005
    Oben rechts KachelX + 1 31629 KachelY 19484 -0.10920026 1.02510177 -6.256714 58.734005
    Unten links KachelX 31628 KachelY + 1 19485 -0.10929613 1.02505200 -6.262207 58.731153
    Unten rechts KachelX + 1 31629 KachelY + 1 19485 -0.10920026 1.02505200 -6.256714 58.731153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02510177-1.02505200) × R
    4.9769999999949e-05 × 6371000     		dl = 317.084669999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02510177-1.02505200) × R
    4.9769999999949e-05 × 6371000     		dr = 317.084669999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10929613--0.10920026) × cos(1.02510177) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.519011899882269 × 6371000     		do = 317.006120932593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10929613--0.10920026) × cos(1.02505200) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.519054440993715 × 6371000     		du = 317.032104523187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02510177)-sin(1.02505200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519011899882269-0.519054440993715)×R²
    abs(-0.10920026--0.10929613)×4.25411114464147e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.25411114464147e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.25411114464147e-05×40589641000000     		ar = 100521.900763763m²