Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31627 / 38444
↖ ↑ ↗
← S 29.745302°
W  6.267700°		 ← 530.31 m → S 29.745302°
W  6.262207°		 →
↑
530.32 m
↓
↑
530.32 m
↓
S 29.750071°
W  6.267700°		 ← 530.28 m →
281 228 m²		 S 29.750071°
W  6.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482597351074219 y=0.586616516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482597351074219 × 216)
    floor (0.482597351074219 × 65536)
    floor (31627.5)     		tx = 31627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586616516113281 × 216)
    floor (0.586616516113281 × 65536)
    floor (38444.5)     		ty = 38444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31627 / 38444 ti = "16/31627/38444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31627/38444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31627 ÷ 216
    31627 ÷ 65536     		x = 0.482589721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38444 ÷ 216
    38444 ÷ 65536     		y = 0.58660888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482589721679688 × 2 - 1) × π
    -0.034820556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.10939200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58660888671875 × 2 - 1) × π
    -0.1732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.544179684486877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10939200} λ = -0.10939200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544179684486877))-π/2
    2×atan(0.580317631696087)-π/2
    2×0.525821437901916-π/2
    1.05164287580383-1.57079632675     		φ = -0.51915345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10939200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.267700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51915345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.745302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31627 KachelY 38444 -0.10939200 -0.51915345 -6.267700 -29.745302
    Oben rechts KachelX + 1 31628 KachelY 38444 -0.10929613 -0.51915345 -6.262207 -29.745302
    Unten links KachelX 31627 KachelY + 1 38445 -0.10939200 -0.51923669 -6.267700 -29.750071
    Unten rechts KachelX + 1 31628 KachelY + 1 38445 -0.10929613 -0.51923669 -6.262207 -29.750071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51915345--0.51923669) × R
    8.32399999999289e-05 × 6371000     		dl = 530.322039999547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51915345--0.51923669) × R
    8.32399999999289e-05 × 6371000     		dr = 530.322039999547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10939200--0.10929613) × cos(-0.51915345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868239502548156 × 6371000     		do = 530.310069587286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10939200--0.10929613) × cos(-0.51923669) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.868198200404831 × 6371000     		du = 530.284842743268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51915345)-sin(-0.51923669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868239502548156-0.868198200404831)×R²
    abs(-0.10929613--0.10939200)×4.13021433248728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.13021433248728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.13021433248728e-05×40589641000000     		ar = 281228.428922528m²