Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31626 / 38442
↖ ↑ ↗
← S 29.735762°
W  6.273193°		 ← 530.42 m → S 29.735762°
W  6.267700°		 →
↑
530.39 m
↓
↑
530.39 m
↓
S 29.740532°
W  6.273193°		 ← 530.39 m →
281 318 m²		 S 29.740532°
W  6.267700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482582092285156 y=0.586585998535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482582092285156 × 216)
    floor (0.482582092285156 × 65536)
    floor (31626.5)     		tx = 31626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586585998535156 × 216)
    floor (0.586585998535156 × 65536)
    floor (38442.5)     		ty = 38442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31626 / 38442 ti = "16/31626/38442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31626/38442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31626 ÷ 216
    31626 ÷ 65536     		x = 0.482574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38442 ÷ 216
    38442 ÷ 65536     		y = 0.586578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.03485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10948788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.17315673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543987936888397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10948788} λ = -0.10948788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543987936888397))-π/2
    2×atan(0.580428916877313)-π/2
    2×0.525904683280942-π/2
    1.05180936656188-1.57079632675     		φ = -0.51898696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10948788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.273193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51898696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.735762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31626 KachelY 38442 -0.10948788 -0.51898696 -6.273193 -29.735762
    Oben rechts KachelX + 1 31627 KachelY 38442 -0.10939200 -0.51898696 -6.267700 -29.735762
    Unten links KachelX 31626 KachelY + 1 38443 -0.10948788 -0.51907021 -6.273193 -29.740532
    Unten rechts KachelX + 1 31627 KachelY + 1 38443 -0.10939200 -0.51907021 -6.267700 -29.740532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51898696--0.51907021) × R
    8.32499999999792e-05 × 6371000     		dl = 530.385749999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51898696--0.51907021) × R
    8.32499999999792e-05 × 6371000     		dr = 530.385749999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10948788--0.10939200) × cos(-0.51898696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.868322093746699 × 6371000     		do = 530.415836081829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10948788--0.10939200) × cos(-0.51907021) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.868280798675538 × 6371000     		du = 530.390610926494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51898696)-sin(-0.51907021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868322093746699-0.868280798675538)×R²
    abs(-0.10939200--0.10948788)×4.12950711611293e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.12950711611293e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.12950711611293e-05×40589641000000     		ar = 281318.311663054m²