Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31625 / 19480
↖ ↑ ↗
← N 58.745407°
W  6.278686°		 ← 316.90 m → N 58.745407°
W  6.273193°		 →
↑
316.89 m
↓
↑
316.89 m
↓
N 58.742557°
W  6.278686°		 ← 316.93 m →
100 428 m²		 N 58.742557°
W  6.273193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482566833496094 y=0.297248840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482566833496094 × 216)
    floor (0.482566833496094 × 65536)
    floor (31625.5)     		tx = 31625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297248840332031 × 216)
    floor (0.297248840332031 × 65536)
    floor (19480.5)     		ty = 19480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31625 / 19480 ti = "16/31625/19480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31625/19480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31625 ÷ 216
    31625 ÷ 65536     		x = 0.482559204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19480 ÷ 216
    19480 ÷ 65536     		y = 0.2972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482559204101562 × 2 - 1) × π
    -0.034881591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.10958375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2972412109375 × 2 - 1) × π
    0.405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27397104430261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10958375} λ = -0.10958375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27397104430261))-π/2
    2×atan(3.57502097872155)-π/2
    2×1.29804854940088-π/2
    2.59609709880175-1.57079632675     		φ = 1.02530077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10958375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.278686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02530077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.745407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31625 KachelY 19480 -0.10958375 1.02530077 -6.278686 58.745407
    Oben rechts KachelX + 1 31626 KachelY 19480 -0.10948788 1.02530077 -6.273193 58.745407
    Unten links KachelX 31625 KachelY + 1 19481 -0.10958375 1.02525103 -6.278686 58.742557
    Unten rechts KachelX + 1 31626 KachelY + 1 19481 -0.10948788 1.02525103 -6.273193 58.742557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02530077-1.02525103) × R
    4.97400000001313e-05 × 6371000     		dl = 316.893540000837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02530077-1.02525103) × R
    4.97400000001313e-05 × 6371000     		dr = 316.893540000837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10958375--0.10948788) × cos(1.02530077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518841790970962 × 6371000     		do = 316.902220489953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10958375--0.10948788) × cos(1.02525103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518884311576856 × 6371000     		du = 316.928191556006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02530077)-sin(1.02525103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518841790970962-0.518884311576856)×R²
    abs(-0.10948788--0.10958375)×4.25206058940475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25206058940475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25206058940475e-05×40589641000000     		ar = 100428.38153707m²