Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31622 / 19485
↖ ↑ ↗
← N 58.731153°
W  6.295166°		 ← 317.03 m → N 58.731153°
W  6.289673°		 →
↑
317.02 m
↓
↑
317.02 m
↓
N 58.728302°
W  6.295166°		 ← 317.06 m →
100 510 m²		 N 58.728302°
W  6.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482521057128906 y=0.297325134277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482521057128906 × 216)
    floor (0.482521057128906 × 65536)
    floor (31622.5)     		tx = 31622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297325134277344 × 216)
    floor (0.297325134277344 × 65536)
    floor (19485.5)     		ty = 19485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31622 / 19485 ti = "16/31622/19485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31622/19485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31622 ÷ 216
    31622 ÷ 65536     		x = 0.482513427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19485 ÷ 216
    19485 ÷ 65536     		y = 0.297317504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482513427734375 × 2 - 1) × π
    -0.03497314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.10987137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297317504882812 × 2 - 1) × π
    0.405364990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27349167530641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.10987137} λ = -0.10987137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27349167530641))-π/2
    2×atan(3.57330763519827)-π/2
    2×1.29792416558391-π/2
    2.59584833116782-1.57079632675     		φ = 1.02505200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.10987137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.295166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02505200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.731153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31622 KachelY 19485 -0.10987137 1.02505200 -6.295166 58.731153
    Oben rechts KachelX + 1 31623 KachelY 19485 -0.10977550 1.02505200 -6.289673 58.731153
    Unten links KachelX 31622 KachelY + 1 19486 -0.10987137 1.02500224 -6.295166 58.728302
    Unten rechts KachelX + 1 31623 KachelY + 1 19486 -0.10977550 1.02500224 -6.289673 58.728302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02505200-1.02500224) × R
    4.97600000000098e-05 × 6371000     		dl = 317.020960000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02505200-1.02500224) × R
    4.97600000000098e-05 × 6371000     		dr = 317.020960000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.10987137--0.10977550) × cos(1.02505200) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.519054440993715 × 6371000     		do = 317.032104523141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.10987137--0.10977550) × cos(1.02500224) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.519096972272283 × 6371000     		du = 317.058082107933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02505200)-sin(1.02500224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519054440993715-0.519096972272283)×R²
    abs(-0.10977550--0.10987137)×4.25312785675702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25312785675702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25312785675702e-05×40589641000000     		ar = 100509.939867074m²