Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3162 / 3063
↖ ↑ ↗
← S 66.196009°
E 97.910156°		 ← 3 944.47 m → S 66.196009°
E 97.998047°		 →
↑
3 941.67 m
↓
↑
3 941.67 m
↓
S 66.231457°
E 97.910156°		 ← 3 938.93 m →
15 536 894 m²		 S 66.231457°
E 97.998047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7720947265625 y=0.7479248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7720947265625 × 212)
    floor (0.7720947265625 × 4096)
    floor (3162.5)     		tx = 3162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7479248046875 × 212)
    floor (0.7479248046875 × 4096)
    floor (3063.5)     		ty = 3063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3162 / 3063 ti = "12/3162/3063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3162/3063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3162 ÷ 212
    3162 ÷ 4096     		x = 0.77197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3063 ÷ 212
    3063 ÷ 4096     		y = 0.747802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77197265625 × 2 - 1) × π
    0.5439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70885460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747802734375 × 2 - 1) × π
    -0.49560546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.55699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70885460} λ = 1.70885460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55699049965942))-π/2
    2×atan(0.21076942834485)-π/2
    2×0.207729009803561-π/2
    0.415458019607122-1.57079632675     		φ = -1.15533831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70885460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15533831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.196009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3162 KachelY 3063 1.70885460 -1.15533831 97.910156 -66.196009
    Oben rechts KachelX + 1 3163 KachelY 3063 1.71038858 -1.15533831 97.998047 -66.196009
    Unten links KachelX 3162 KachelY + 1 3064 1.70885460 -1.15595700 97.910156 -66.231457
    Unten rechts KachelX + 1 3163 KachelY + 1 3064 1.71038858 -1.15595700 97.998047 -66.231457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15533831--1.15595700) × R
    0.000618689999999811 × 6371000     		dl = 3941.67398999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15533831--1.15595700) × R
    0.000618689999999811 × 6371000     		dr = 3941.67398999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70885460-1.71038858) × cos(-1.15533831) × R
    0.00153398000000005 × 0.403609026724576 × 6371000     		do = 3944.46560174626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70885460-1.71038858) × cos(-1.15595700) × R
    0.00153398000000005 × 0.403042890509652 × 6371000     		du = 3938.93276011535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15533831)-sin(-1.15595700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403609026724576-0.403042890509652)×R²
    abs(1.71038858-1.70885460)×0.000566136214923851×R²
    0.00153398000000005×0.000566136214923851×6371000²
    0.00153398000000005×0.000566136214923851×40589641000000     		ar = 15536893.6334757m²