Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31618 / 38394
↖ ↑ ↗
← S 29.506550°
W  6.317139°		 ← 531.57 m → S 29.506550°
W  6.311646°		 →
↑
531.60 m
↓
↑
531.60 m
↓
S 29.511330°
W  6.317139°		 ← 531.54 m →
282 573 m²		 S 29.511330°
W  6.311646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482460021972656 y=0.585853576660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482460021972656 × 216)
    floor (0.482460021972656 × 65536)
    floor (31618.5)     		tx = 31618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585853576660156 × 216)
    floor (0.585853576660156 × 65536)
    floor (38394.5)     		ty = 38394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31618 / 38394 ti = "16/31618/38394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31618/38394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31618 ÷ 216
    31618 ÷ 65536     		x = 0.482452392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38394 ÷ 216
    38394 ÷ 65536     		y = 0.585845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.03509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11025487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.17169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.539385994524872
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11025487} λ = -0.11025487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539385994524872))-π/2
    2×atan(0.583106172862894)-π/2
    2×0.527904944064577-π/2
    1.05580988812915-1.57079632675     		φ = -0.51498644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11025487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.317139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51498644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.506550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31618 KachelY 38394 -0.11025487 -0.51498644 -6.317139 -29.506550
    Oben rechts KachelX + 1 31619 KachelY 38394 -0.11015900 -0.51498644 -6.311646 -29.506550
    Unten links KachelX 31618 KachelY + 1 38395 -0.11025487 -0.51506988 -6.317139 -29.511330
    Unten rechts KachelX + 1 31619 KachelY + 1 38395 -0.11015900 -0.51506988 -6.311646 -29.511330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51498644--0.51506988) × R
    8.34399999999347e-05 × 6371000     		dl = 531.596239999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51498644--0.51506988) × R
    8.34399999999347e-05 × 6371000     		dr = 531.596239999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11025487--0.11015900) × cos(-0.51498644) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.870299400990606 × 6371000     		do = 531.568230363377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11025487--0.11015900) × cos(-0.51506988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.87025830183793 × 6371000     		du = 531.543127503564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51498644)-sin(-0.51506988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870299400990606-0.87025830183793)×R²
    abs(-0.11015900--0.11025487)×4.10991526763604e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.10991526763604e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.10991526763604e-05×40589641000000     		ar = 282573.000435509m²