Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31613 / 38450
↖ ↑ ↗
← S 29.773914°
W  6.344605°		 ← 530.21 m → S 29.773914°
W  6.339111°		 →
↑
530.13 m
↓
↑
530.13 m
↓
S 29.778682°
W  6.344605°		 ← 530.19 m →
281 076 m²		 S 29.778682°
W  6.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482383728027344 y=0.586708068847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482383728027344 × 216)
    floor (0.482383728027344 × 65536)
    floor (31613.5)     		tx = 31613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586708068847656 × 216)
    floor (0.586708068847656 × 65536)
    floor (38450.5)     		ty = 38450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31613 / 38450 ti = "16/31613/38450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31613/38450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31613 ÷ 216
    31613 ÷ 65536     		x = 0.482376098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38450 ÷ 216
    38450 ÷ 65536     		y = 0.586700439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482376098632812 × 2 - 1) × π
    -0.035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11073424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.17340087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.544754927282318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11073424} λ = -0.11073424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.544754927282318))-π/2
    2×atan(0.579983904155771)-π/2
    2×0.52557174928592-π/2
    1.05114349857184-1.57079632675     		φ = -0.51965283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11073424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.344605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51965283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.773914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31613 KachelY 38450 -0.11073424 -0.51965283 -6.344605 -29.773914
    Oben rechts KachelX + 1 31614 KachelY 38450 -0.11063836 -0.51965283 -6.339111 -29.773914
    Unten links KachelX 31613 KachelY + 1 38451 -0.11073424 -0.51973604 -6.344605 -29.778682
    Unten rechts KachelX + 1 31614 KachelY + 1 38451 -0.11063836 -0.51973604 -6.339111 -29.778682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51965283--0.51973604) × R
    8.32100000000002e-05 × 6371000     		dl = 530.130910000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51965283--0.51973604) × R
    8.32100000000002e-05 × 6371000     		dr = 530.130910000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11073424--0.11063836) × cos(-0.51965283) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.867991629253815 × 6371000     		do = 530.213971357264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11073424--0.11063836) × cos(-0.51973604) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.867950305924713 × 6371000     		du = 530.188728940523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51965283)-sin(-0.51973604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867991629253815-0.867950305924713)×R²
    abs(-0.11063836--0.11073424)×4.13233291024495e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.13233291024495e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.13233291024495e-05×40589641000000     		ar = 281076.124399786m²