Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31613 / 15029
↖ ↑ ↗
← N 69.308618°
W  6.344605°		 ← 215.83 m → N 69.308618°
W  6.339111°		 →
↑
215.85 m
↓
↑
215.85 m
↓
N 69.306677°
W  6.344605°		 ← 215.85 m →
46 590 m²		 N 69.306677°
W  6.339111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482383728027344 y=0.229331970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482383728027344 × 216)
    floor (0.482383728027344 × 65536)
    floor (31613.5)     		tx = 31613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229331970214844 × 216)
    floor (0.229331970214844 × 65536)
    floor (15029.5)     		ty = 15029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31613 / 15029 ti = "16/31613/15029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31613/15029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31613 ÷ 216
    31613 ÷ 65536     		x = 0.482376098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15029 ÷ 216
    15029 ÷ 65536     		y = 0.229324340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482376098632812 × 2 - 1) × π
    -0.035247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11073424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229324340820312 × 2 - 1) × π
    0.541351318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70070532472035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11073424} λ = -0.11073424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70070532472035))-π/2
    2×atan(5.47780966405845)-π/2
    2×1.39022995224082-π/2
    2.78045990448164-1.57079632675     		φ = 1.20966358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11073424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.344605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20966358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.308618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31613 KachelY 15029 -0.11073424 1.20966358 -6.344605 69.308618
    Oben rechts KachelX + 1 31614 KachelY 15029 -0.11063836 1.20966358 -6.339111 69.308618
    Unten links KachelX 31613 KachelY + 1 15030 -0.11073424 1.20962970 -6.344605 69.306677
    Unten rechts KachelX + 1 31614 KachelY + 1 15030 -0.11063836 1.20962970 -6.339111 69.306677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20966358-1.20962970) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dl = 215.849479999558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20966358-1.20962970) × R
    3.38799999999306e-05 × 6371000     		dr = 215.849479999558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11073424--0.11063836) × cos(1.20966358) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353334141171547 × 6371000     		do = 215.834683069152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11073424--0.11063836) × cos(1.20962970) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.353365835613409 × 6371000     		du = 215.854043665871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20966358)-sin(1.20962970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353334141171547-0.353365835613409)×R²
    abs(-0.11063836--0.11073424)×3.16944418614629e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.16944418614629e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.16944418614629e-05×40589641000000     		ar = 46589.8935983294m²