Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31612 / 38814
↖ ↑ ↗
← S 31.494262°
W  6.350098°		 ← 520.81 m → S 31.494262°
W  6.344605°		 →
↑
520.83 m
↓
↑
520.83 m
↓
S 31.498946°
W  6.350098°		 ← 520.79 m →
271 248 m²		 S 31.498946°
W  6.344605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482368469238281 y=0.592262268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482368469238281 × 216)
    floor (0.482368469238281 × 65536)
    floor (31612.5)     		tx = 31612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592262268066406 × 216)
    floor (0.592262268066406 × 65536)
    floor (38814.5)     		ty = 38814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31612 / 38814 ti = "16/31612/38814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31612/38814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31612 ÷ 216
    31612 ÷ 65536     		x = 0.48236083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38814 ÷ 216
    38814 ÷ 65536     		y = 0.592254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11083011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.18450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.579652990205719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11083011} λ = -0.11083011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579652990205719))-π/2
    2×atan(0.560092690496606)-π/2
    2×0.510558881321425-π/2
    1.02111776264285-1.57079632675     		φ = -0.54967856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11083011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54967856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.494262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31612 KachelY 38814 -0.11083011 -0.54967856 -6.350098 -31.494262
    Oben rechts KachelX + 1 31613 KachelY 38814 -0.11073424 -0.54967856 -6.344605 -31.494262
    Unten links KachelX 31612 KachelY + 1 38815 -0.11083011 -0.54976031 -6.350098 -31.498946
    Unten rechts KachelX + 1 31613 KachelY + 1 38815 -0.11073424 -0.54976031 -6.344605 -31.498946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54967856--0.54976031) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dl = 520.829249999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54967856--0.54976031) × R
    8.17499999999916e-05 × 6371000     		dr = 520.829249999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11083011--0.11073424) × cos(-0.54967856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852692490596498 × 6371000     		do = 520.814144827169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11083011--0.11073424) × cos(-0.54976031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.852649780470889 × 6371000     		du = 520.788058004793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54967856)-sin(-0.54976031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852692490596498-0.852649780470889)×R²
    abs(-0.11073424--0.11083011)×4.27101256083029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27101256083029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27101256083029e-05×40589641000000     		ar = 271248.44720071m²