Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31612 / 37500
↖ ↑ ↗
← S 25.145285°
W  6.350098°		 ← 552.91 m → S 25.145285°
W  6.344605°		 →
↑
552.88 m
↓
↑
552.88 m
↓
S 25.150257°
W  6.350098°		 ← 552.88 m →
305 682 m²		 S 25.150257°
W  6.344605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482368469238281 y=0.572212219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482368469238281 × 216)
    floor (0.482368469238281 × 65536)
    floor (31612.5)     		tx = 31612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572212219238281 × 216)
    floor (0.572212219238281 × 65536)
    floor (37500.5)     		ty = 37500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31612 / 37500 ti = "16/31612/37500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31612/37500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31612 ÷ 216
    31612 ÷ 65536     		x = 0.48236083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37500 ÷ 216
    37500 ÷ 65536     		y = 0.57220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0352783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11083011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.1444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.453674818004211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11083011} λ = -0.11083011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453674818004211))-π/2
    2×atan(0.635289284298137)-π/2
    2×0.56596415949956-π/2
    1.13192831899912-1.57079632675     		φ = -0.43886801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11083011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43886801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.145285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31612 KachelY 37500 -0.11083011 -0.43886801 -6.350098 -25.145285
    Oben rechts KachelX + 1 31613 KachelY 37500 -0.11073424 -0.43886801 -6.344605 -25.145285
    Unten links KachelX 31612 KachelY + 1 37501 -0.11083011 -0.43895479 -6.350098 -25.150257
    Unten rechts KachelX + 1 31613 KachelY + 1 37501 -0.11073424 -0.43895479 -6.344605 -25.150257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43886801--0.43895479) × R
    8.67800000000085e-05 × 6371000     		dl = 552.875380000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43886801--0.43895479) × R
    8.67800000000085e-05 × 6371000     		dr = 552.875380000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11083011--0.11073424) × cos(-0.43886801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905233242657106 × 6371000     		do = 552.905393612391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11083011--0.11073424) × cos(-0.43895479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.905196365122945 × 6371000     		du = 552.882869265537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43886801)-sin(-0.43895479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905233242657106-0.905196365122945)×R²
    abs(-0.11073424--0.11083011)×3.68775341615946e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68775341615946e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68775341615946e-05×40589641000000     		ar = 305681.553211072m²