Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31611 / 38726
↖ ↑ ↗
← S 31.081165°
W  6.355591°		 ← 523.16 m → S 31.081165°
W  6.350098°		 →
↑
523.12 m
↓
↑
523.12 m
↓
S 31.085870°
W  6.355591°		 ← 523.13 m →
273 668 m²		 S 31.085870°
W  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482353210449219 y=0.590919494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482353210449219 × 216)
    floor (0.482353210449219 × 65536)
    floor (31611.5)     		tx = 31611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590919494628906 × 216)
    floor (0.590919494628906 × 65536)
    floor (38726.5)     		ty = 38726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31611 / 38726 ti = "16/31611/38726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31611/38726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31611 ÷ 216
    31611 ÷ 65536     		x = 0.482345581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38726 ÷ 216
    38726 ÷ 65536     		y = 0.590911865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590911865234375 × 2 - 1) × π
    -0.18182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.571216095872589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11092599} λ = -0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.571216095872589))-π/2
    2×atan(0.564838123552952)-π/2
    2×0.51416382704731-π/2
    1.02832765409462-1.57079632675     		φ = -0.54246867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54246867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.081165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31611 KachelY 38726 -0.11092599 -0.54246867 -6.355591 -31.081165
    Oben rechts KachelX + 1 31612 KachelY 38726 -0.11083011 -0.54246867 -6.350098 -31.081165
    Unten links KachelX 31611 KachelY + 1 38727 -0.11092599 -0.54255078 -6.355591 -31.085870
    Unten rechts KachelX + 1 31612 KachelY + 1 38727 -0.11083011 -0.54255078 -6.350098 -31.085870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54246867--0.54255078) × R
    8.21100000000241e-05 × 6371000     		dl = 523.122810000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54246867--0.54255078) × R
    8.21100000000241e-05 × 6371000     		dr = 523.122810000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11092599--0.11083011) × cos(-0.54246867) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.856436836975277 × 6371000     		do = 523.155709392902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11092599--0.11083011) × cos(-0.54255078) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.856394444651105 × 6371000     		du = 523.129813978941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54246867)-sin(-0.54255078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856436836975277-0.856394444651105)×R²
    abs(-0.11083011--0.11092599)×4.23923241716917e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.23923241716917e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.23923241716917e-05×40589641000000     		ar = 273667.911678447m²