Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31611 / 37497
↖ ↑ ↗
← S 25.130366°
W  6.355591°		 ← 553.03 m → S 25.130366°
W  6.350098°		 →
↑
552.94 m
↓
↑
552.94 m
↓
S 25.135339°
W  6.355591°		 ← 553.01 m →
305 786 m²		 S 25.135339°
W  6.350098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482353210449219 y=0.572166442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482353210449219 × 216)
    floor (0.482353210449219 × 65536)
    floor (31611.5)     		tx = 31611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572166442871094 × 216)
    floor (0.572166442871094 × 65536)
    floor (37497.5)     		ty = 37497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31611 / 37497 ti = "16/31611/37497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31611/37497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31611 ÷ 216
    31611 ÷ 65536     		x = 0.482345581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37497 ÷ 216
    37497 ÷ 65536     		y = 0.572158813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482345581054688 × 2 - 1) × π
    -0.035308837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11092599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572158813476562 × 2 - 1) × π
    -0.144317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.453387196606491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11092599} λ = -0.11092599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.453387196606491))-π/2
    2×atan(0.635472033370056)-π/2
    2×0.566094349678893-π/2
    1.13218869935779-1.57079632675     		φ = -0.43860763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11092599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.355591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43860763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.130366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31611 KachelY 37497 -0.11092599 -0.43860763 -6.355591 -25.130366
    Oben rechts KachelX + 1 31612 KachelY 37497 -0.11083011 -0.43860763 -6.350098 -25.130366
    Unten links KachelX 31611 KachelY + 1 37498 -0.11092599 -0.43869442 -6.355591 -25.135339
    Unten rechts KachelX + 1 31612 KachelY + 1 37498 -0.11083011 -0.43869442 -6.350098 -25.135339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43860763--0.43869442) × R
    8.67899999999477e-05 × 6371000     		dl = 552.939089999667m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43860763--0.43869442) × R
    8.67899999999477e-05 × 6371000     		dr = 552.939089999667m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11092599--0.11083011) × cos(-0.43860763) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.905343851343042 × 6371000     		do = 553.030631501835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11092599--0.11083011) × cos(-0.43869442) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.905306990016583 × 6371000     		du = 553.008114706012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43860763)-sin(-0.43869442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905343851343042-0.905306990016583)×R²
    abs(-0.11083011--0.11092599)×3.68613264590811e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.68613264590811e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.68613264590811e-05×40589641000000     		ar = 305786.029108161m²