Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31610 / 38745
↖ ↑ ↗
← S 31.170510°
W  6.361084°		 ← 522.61 m → S 31.170510°
W  6.355591°		 →
↑
522.61 m
↓
↑
522.61 m
↓
S 31.175210°
W  6.361084°		 ← 522.58 m →
273 115 m²		 S 31.175210°
W  6.355591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482337951660156 y=0.591209411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482337951660156 × 216)
    floor (0.482337951660156 × 65536)
    floor (31610.5)     		tx = 31610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591209411621094 × 216)
    floor (0.591209411621094 × 65536)
    floor (38745.5)     		ty = 38745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31610 / 38745 ti = "16/31610/38745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31610/38745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31610 ÷ 216
    31610 ÷ 65536     		x = 0.482330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38745 ÷ 216
    38745 ÷ 65536     		y = 0.591201782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591201782226562 × 2 - 1) × π
    -0.182403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.573037698058151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11102186} λ = -0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.573037698058151))-π/2
    2×atan(0.563810149756511)-π/2
    2×0.513384150421298-π/2
    1.0267683008426-1.57079632675     		φ = -0.54402803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54402803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.170510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31610 KachelY 38745 -0.11102186 -0.54402803 -6.361084 -31.170510
    Oben rechts KachelX + 1 31611 KachelY 38745 -0.11092599 -0.54402803 -6.355591 -31.170510
    Unten links KachelX 31610 KachelY + 1 38746 -0.11102186 -0.54411006 -6.361084 -31.175210
    Unten rechts KachelX + 1 31611 KachelY + 1 38746 -0.11092599 -0.54411006 -6.355591 -31.175210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54402803--0.54411006) × R
    8.20299999999552e-05 × 6371000     		dl = 522.613129999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54402803--0.54411006) × R
    8.20299999999552e-05 × 6371000     		dr = 522.613129999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11102186--0.11092599) × cos(-0.54402803) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855630773602295 × 6371000     		do = 522.608812151909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11102186--0.11092599) × cos(-0.54411006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.855588313087616 × 6371000     		du = 522.582877788836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54402803)-sin(-0.54411006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855630773602295-0.855588313087616)×R²
    abs(-0.11092599--0.11102186)×4.24605146787105e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24605146787105e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24605146787105e-05×40589641000000     		ar = 273115.450417965m²