Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31610 / 38697
↖ ↑ ↗
← S 30.944636°
W  6.361084°		 ← 523.85 m → S 30.944636°
W  6.355591°		 →
↑
523.82 m
↓
↑
523.82 m
↓
S 30.949347°
W  6.361084°		 ← 523.83 m →
274 399 m²		 S 30.949347°
W  6.355591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482337951660156 y=0.590476989746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482337951660156 × 216)
    floor (0.482337951660156 × 65536)
    floor (31610.5)     		tx = 31610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590476989746094 × 216)
    floor (0.590476989746094 × 65536)
    floor (38697.5)     		ty = 38697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31610 / 38697 ti = "16/31610/38697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31610/38697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31610 ÷ 216
    31610 ÷ 65536     		x = 0.482330322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38697 ÷ 216
    38697 ÷ 65536     		y = 0.590469360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482330322265625 × 2 - 1) × π
    -0.03533935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11102186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590469360351562 × 2 - 1) × π
    -0.180938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.568435755694626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11102186} λ = -0.11102186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568435755694626))-π/2
    2×atan(0.566410750888322)-π/2
    2×0.515355273663192-π/2
    1.03071054732638-1.57079632675     		φ = -0.54008578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11102186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.361084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54008578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.944636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31610 KachelY 38697 -0.11102186 -0.54008578 -6.361084 -30.944636
    Oben rechts KachelX + 1 31611 KachelY 38697 -0.11092599 -0.54008578 -6.355591 -30.944636
    Unten links KachelX 31610 KachelY + 1 38698 -0.11102186 -0.54016800 -6.361084 -30.949347
    Unten rechts KachelX + 1 31611 KachelY + 1 38698 -0.11092599 -0.54016800 -6.355591 -30.949347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54008578--0.54016800) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dl = 523.823620000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54008578--0.54016800) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dr = 523.823620000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11102186--0.11092599) × cos(-0.54008578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857664575622915 × 6371000     		do = 523.851033552705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11102186--0.11092599) × cos(-0.54016800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.857622294413648 × 6371000     		du = 523.825208707184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54008578)-sin(-0.54016800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857664575622915-0.857622294413648)×R²
    abs(-0.11092599--0.11102186)×4.22812092667479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22812092667479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22812092667479e-05×40589641000000     		ar = 274398.78105904m²