Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3161 / 3095
↖ ↑ ↗
← S 67.305976°
E 97.822266°		 ← 3 770.51 m → S 67.305976°
E 97.910156°		 →
↑
3 767.87 m
↓
↑
3 767.87 m
↓
S 67.339861°
E 97.822266°		 ← 3 765.18 m →
14 196 773 m²		 S 67.339861°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7718505859375 y=0.7557373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7718505859375 × 212)
    floor (0.7718505859375 × 4096)
    floor (3161.5)     		tx = 3161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7557373046875 × 212)
    floor (0.7557373046875 × 4096)
    floor (3095.5)     		ty = 3095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3161 / 3095 ti = "12/3161/3095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3161/3095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3161 ÷ 212
    3161 ÷ 4096     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3095 ÷ 212
    3095 ÷ 4096     		y = 0.755615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.51123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.60607788487036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60607788487036))-π/2
    2×atan(0.2006731357568)-π/2
    2×0.198042721904921-π/2
    0.396085443809842-1.57079632675     		φ = -1.17471088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17471088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.305976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3161 KachelY 3095 1.70732062 -1.17471088 97.822266 -67.305976
    Oben rechts KachelX + 1 3162 KachelY 3095 1.70885460 -1.17471088 97.910156 -67.305976
    Unten links KachelX 3161 KachelY + 1 3096 1.70732062 -1.17530229 97.822266 -67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 3162 KachelY + 1 3096 1.70885460 -1.17530229 97.910156 -67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17471088--1.17530229) × R
    0.000591410000000181 × 6371000     		dl = 3767.87311000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17471088--1.17530229) × R
    0.000591410000000181 × 6371000     		dr = 3767.87311000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.17471088) × R
    0.00153398000000005 × 0.385809825584531 × 6371000     		do = 3770.51424786988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.17530229) × R
    0.00153398000000005 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 3765.18123179752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17471088)-sin(-1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385809825584531-0.385264136093535)×R²
    abs(1.70885460-1.70732062)×0.000545689490996482×R²
    0.00153398000000005×0.000545689490996482×6371000²
    0.00153398000000005×0.000545689490996482×40589641000000     		ar = 14196772.595297m²