Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3161 / 3048
↖ ↑ ↗
← S 65.658274°
E 97.822266°		 ← 4 028.21 m → S 65.658274°
E 97.910156°		 →
↑
4 025.39 m
↓
↑
4 025.39 m
↓
S 65.694476°
E 97.822266°		 ← 4 022.58 m →
16 203 787 m²		 S 65.694476°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7718505859375 y=0.7442626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7718505859375 × 212)
    floor (0.7718505859375 × 4096)
    floor (3161.5)     		tx = 3161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7442626953125 × 212)
    floor (0.7442626953125 × 4096)
    floor (3048.5)     		ty = 3048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3161 / 3048 ti = "12/3161/3048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3161/3048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3161 ÷ 212
    3161 ÷ 4096     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3048 ÷ 212
    3048 ÷ 4096     		y = 0.744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744140625 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5339807878418))-π/2
    2×atan(0.215675398174743)-π/2
    2×0.212421627631848-π/2
    0.424843255263695-1.57079632675     		φ = -1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3161 KachelY 3048 1.70732062 -1.14595307 97.822266 -65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 3162 KachelY 3048 1.70885460 -1.14595307 97.910156 -65.658274
    Unten links KachelX 3161 KachelY + 1 3049 1.70732062 -1.14658490 97.822266 -65.694476
    Unten rechts KachelX + 1 3162 KachelY + 1 3049 1.70885460 -1.14658490 97.910156 -65.694476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14595307--1.14658490) × R
    0.000631829999999889 × 6371000     		dl = 4025.38892999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14595307--1.14658490) × R
    0.000631829999999889 × 6371000     		dr = 4025.38892999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.14595307) × R
    0.00153398000000005 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 4028.20984314822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.14658490) × R
    0.00153398000000005 × 0.411602232883906 × 6371000     		du = 4022.58309827257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14595307)-sin(-1.14658490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.411602232883906)×R²
    abs(1.70885460-1.70732062)×0.00057574466408955×R²
    0.00153398000000005×0.00057574466408955×6371000²
    0.00153398000000005×0.00057574466408955×40589641000000     		ar = 16203786.9311144m²