Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3161 / 3047
↖ ↑ ↗
← S 65.622023°
E 97.822266°		 ← 4 033.84 m → S 65.622023°
E 97.910156°		 →
↑
4 031 m
↓
↑
4 031 m
↓
S 65.658274°
E 97.822266°		 ← 4 028.21 m →
16 249 049 m²		 S 65.658274°
E 97.910156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7718505859375 y=0.7440185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7718505859375 × 212)
    floor (0.7718505859375 × 4096)
    floor (3161.5)     		tx = 3161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7440185546875 × 212)
    floor (0.7440185546875 × 4096)
    floor (3047.5)     		ty = 3047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3161 / 3047 ti = "12/3161/3047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3161/3047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3161 ÷ 212
    3161 ÷ 4096     		x = 0.771728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3047 ÷ 212
    3047 ÷ 4096     		y = 0.743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771728515625 × 2 - 1) × π
    0.54345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.70732062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53244680705396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70732062} λ = 1.70732062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53244680705396))-π/2
    2×atan(0.216006493974325)-π/2
    2×0.212737985180594-π/2
    0.425475970361189-1.57079632675     		φ = -1.14532036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70732062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.822266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14532036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.622023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3161 KachelY 3047 1.70732062 -1.14532036 97.822266 -65.622023
    Oben rechts KachelX + 1 3162 KachelY 3047 1.70885460 -1.14532036 97.910156 -65.622023
    Unten links KachelX 3161 KachelY + 1 3048 1.70732062 -1.14595307 97.822266 -65.658274
    Unten rechts KachelX + 1 3162 KachelY + 1 3048 1.70885460 -1.14595307 97.910156 -65.658274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14532036--1.14595307) × R
    0.000632710000000092 × 6371000     		dl = 4030.99541000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14532036--1.14595307) × R
    0.000632710000000092 × 6371000     		dr = 4030.99541000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.14532036) × R
    0.00153398000000005 × 0.412754359208324 × 6371000     		do = 4033.84281337957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70732062-1.70885460) × cos(-1.14595307) × R
    0.00153398000000005 × 0.412177977547995 × 6371000     		du = 4028.20984314822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14532036)-sin(-1.14595307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412754359208324-0.412177977547995)×R²
    abs(1.70885460-1.70732062)×0.000576381660328695×R²
    0.00153398000000005×0.000576381660328695×6371000²
    0.00153398000000005×0.000576381660328695×40589641000000     		ar = 16249049.1688964m²