Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31609 / 38424
↖ ↑ ↗
← S 29.649869°
W  6.366577°		 ← 530.81 m → S 29.649869°
W  6.361084°		 →
↑
530.83 m
↓
↑
530.83 m
↓
S 29.654642°
W  6.366577°		 ← 530.79 m →
281 766 m²		 S 29.654642°
W  6.361084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482322692871094 y=0.586311340332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482322692871094 × 216)
    floor (0.482322692871094 × 65536)
    floor (31609.5)     		tx = 31609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586311340332031 × 216)
    floor (0.586311340332031 × 65536)
    floor (38424.5)     		ty = 38424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31609 / 38424 ti = "16/31609/38424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31609/38424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31609 ÷ 216
    31609 ÷ 65536     		x = 0.482315063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38424 ÷ 216
    38424 ÷ 65536     		y = 0.5863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482315063476562 × 2 - 1) × π
    -0.035369873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11111773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.542262208502075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11111773} λ = -0.11111773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.542262208502075))-π/2
    2×atan(0.581431444331648)-π/2
    2×0.526654247796906-π/2
    1.05330849559381-1.57079632675     		φ = -0.51748783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11111773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.366577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51748783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.649869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31609 KachelY 38424 -0.11111773 -0.51748783 -6.366577 -29.649869
    Oben rechts KachelX + 1 31610 KachelY 38424 -0.11102186 -0.51748783 -6.361084 -29.649869
    Unten links KachelX 31609 KachelY + 1 38425 -0.11111773 -0.51757115 -6.366577 -29.654642
    Unten rechts KachelX + 1 31610 KachelY + 1 38425 -0.11102186 -0.51757115 -6.361084 -29.654642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51748783--0.51757115) × R
    8.33199999999978e-05 × 6371000     		dl = 530.831719999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51748783--0.51757115) × R
    8.33199999999978e-05 × 6371000     		dr = 530.831719999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11111773--0.11102186) × cos(-0.51748783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869064687339429 × 6371000     		do = 530.814082365785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11111773--0.11102186) × cos(-0.51757115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869023466046925 × 6371000     		du = 530.788904904461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51748783)-sin(-0.51757115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869064687339429-0.869023466046925)×R²
    abs(-0.11102186--0.11111773)×4.12212925032795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.12212925032795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.12212925032795e-05×40589641000000     		ar = 281766.270007909m²