Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31606 / 38700
↖ ↑ ↗
← S 30.958768°
W  6.383056°		 ← 523.77 m → S 30.958768°
W  6.377563°		 →
↑
523.82 m
↓
↑
523.82 m
↓
S 30.963479°
W  6.383056°		 ← 523.75 m →
274 358 m²		 S 30.963479°
W  6.377563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482276916503906 y=0.590522766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482276916503906 × 216)
    floor (0.482276916503906 × 65536)
    floor (31606.5)     		tx = 31606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590522766113281 × 216)
    floor (0.590522766113281 × 65536)
    floor (38700.5)     		ty = 38700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31606 / 38700 ti = "16/31606/38700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31606/38700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31606 ÷ 216
    31606 ÷ 65536     		x = 0.482269287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38700 ÷ 216
    38700 ÷ 65536     		y = 0.59051513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482269287109375 × 2 - 1) × π
    -0.03546142578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11140535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59051513671875 × 2 - 1) × π
    -0.1810302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.568723377092346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11140535} λ = -0.11140535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568723377092346))-π/2
    2×atan(0.566247862462689)-π/2
    2×0.515231941442894-π/2
    1.03046388288579-1.57079632675     		φ = -0.54033244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11140535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.383056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54033244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.958768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31606 KachelY 38700 -0.11140535 -0.54033244 -6.383056 -30.958768
    Oben rechts KachelX + 1 31607 KachelY 38700 -0.11130948 -0.54033244 -6.377563 -30.958768
    Unten links KachelX 31606 KachelY + 1 38701 -0.11140535 -0.54041466 -6.383056 -30.963479
    Unten rechts KachelX + 1 31607 KachelY + 1 38701 -0.11130948 -0.54041466 -6.377563 -30.963479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54033244--0.54041466) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dl = 523.823620000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54033244--0.54041466) × R
    8.22200000000217e-05 × 6371000     		dr = 523.823620000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11140535--0.11130948) × cos(-0.54033244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85753771460249 × 6371000     		do = 523.77354839294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11140535--0.11130948) × cos(-0.54041466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.85749541600117 × 6371000     		du = 523.747712924565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54033244)-sin(-0.54041466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85753771460249-0.85749541600117)×R²
    abs(-0.11130948--0.11140535)×4.22986013196569e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22986013196569e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22986013196569e-05×40589641000000     		ar = 274358.189719839m²