Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31605 / 38703
↖ ↑ ↗
← S 30.972899°
W  6.388550°		 ← 523.75 m → S 30.972899°
W  6.383056°		 →
↑
523.70 m
↓
↑
523.70 m
↓
S 30.977609°
W  6.388550°		 ← 523.72 m →
274 279 m²		 S 30.977609°
W  6.383056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482261657714844 y=0.590568542480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482261657714844 × 216)
    floor (0.482261657714844 × 65536)
    floor (31605.5)     		tx = 31605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590568542480469 × 216)
    floor (0.590568542480469 × 65536)
    floor (38703.5)     		ty = 38703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31605 / 38703 ti = "16/31605/38703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31605/38703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31605 ÷ 216
    31605 ÷ 65536     		x = 0.482254028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38703 ÷ 216
    38703 ÷ 65536     		y = 0.590560913085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482254028320312 × 2 - 1) × π
    -0.035491943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11150123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590560913085938 × 2 - 1) × π
    -0.181121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.569010998490067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11150123} λ = -0.11150123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569010998490067))-π/2
    2×atan(0.566085020880516)-π/2
    2×0.515108627469299-π/2
    1.0302172549386-1.57079632675     		φ = -0.54057907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11150123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54057907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.972899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31605 KachelY 38703 -0.11150123 -0.54057907 -6.388550 -30.972899
    Oben rechts KachelX + 1 31606 KachelY 38703 -0.11140535 -0.54057907 -6.383056 -30.972899
    Unten links KachelX 31605 KachelY + 1 38704 -0.11150123 -0.54066127 -6.388550 -30.977609
    Unten rechts KachelX + 1 31606 KachelY + 1 38704 -0.11140535 -0.54066127 -6.383056 -30.977609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54057907--0.54066127) × R
    8.21999999999212e-05 × 6371000     		dl = 523.696199999498m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54057907--0.54066127) × R
    8.21999999999212e-05 × 6371000     		dr = 523.696199999498m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11150123--0.11140535) × cos(-0.54057907) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.857410816847457 × 6371000     		do = 523.750666439314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11150123--0.11140535) × cos(-0.54066127) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.857368511152834 × 6371000     		du = 523.724823943141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54057907)-sin(-0.54066127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857410816847457-0.857368511152834)×R²
    abs(-0.11140535--0.11150123)×4.2305694622824e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.2305694622824e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.2305694622824e-05×40589641000000     		ar = 274279.467107415m²