Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31604 / 15020
↖ ↑ ↗
← N 69.326079°
W  6.394043°		 ← 215.64 m → N 69.326079°
W  6.388550°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 69.324139°
W  6.394043°		 ← 215.66 m →
46 506 m²		 N 69.324139°
W  6.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482246398925781 y=0.229194641113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482246398925781 × 216)
    floor (0.482246398925781 × 65536)
    floor (31604.5)     		tx = 31604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229194641113281 × 216)
    floor (0.229194641113281 × 65536)
    floor (15020.5)     		ty = 15020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31604 / 15020 ti = "16/31604/15020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31604/15020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31604 ÷ 216
    31604 ÷ 65536     		x = 0.48223876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15020 ÷ 216
    15020 ÷ 65536     		y = 0.22918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48223876953125 × 2 - 1) × π
    -0.0355224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11159710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22918701171875 × 2 - 1) × π
    0.5416259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70156818891351
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11159710} λ = -0.11159710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70156818891351))-π/2
    2×atan(5.48253830967062)-π/2
    2×1.39038233042007-π/2
    2.78076466084014-1.57079632675     		φ = 1.20996833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11159710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20996833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.326079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31604 KachelY 15020 -0.11159710 1.20996833 -6.394043 69.326079
    Oben rechts KachelX + 1 31605 KachelY 15020 -0.11150123 1.20996833 -6.388550 69.326079
    Unten links KachelX 31604 KachelY + 1 15021 -0.11159710 1.20993448 -6.394043 69.324139
    Unten rechts KachelX + 1 31605 KachelY + 1 15021 -0.11150123 1.20993448 -6.388550 69.324139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20996833-1.20993448) × R
    3.38499999998909e-05 × 6371000     		dl = 215.658349999305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20996833-1.20993448) × R
    3.38499999998909e-05 × 6371000     		dr = 215.658349999305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11159710--0.11150123) × cos(1.20996833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353049032001057 × 6371000     		do = 215.63803095658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11159710--0.11150123) × cos(1.20993448) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.353080702021975 × 6371000     		du = 215.657374618032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20996833)-sin(1.20993448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353049032001057-0.353080702021975)×R²
    abs(-0.11150123--0.11159710)×3.16700209175846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.16700209175846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.16700209175846e-05×40589641000000     		ar = 46506.2277688623m²