Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31603 / 38759
↖ ↑ ↗
← S 31.236288°
W  6.399536°		 ← 522.30 m → S 31.236288°
W  6.394043°		 →
↑
522.29 m
↓
↑
522.29 m
↓
S 31.240986°
W  6.399536°		 ← 522.27 m →
272 788 m²		 S 31.240986°
W  6.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482231140136719 y=0.591423034667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482231140136719 × 216)
    floor (0.482231140136719 × 65536)
    floor (31603.5)     		tx = 31603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591423034667969 × 216)
    floor (0.591423034667969 × 65536)
    floor (38759.5)     		ty = 38759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31603 / 38759 ti = "16/31603/38759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31603/38759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31603 ÷ 216
    31603 ÷ 65536     		x = 0.482223510742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38759 ÷ 216
    38759 ÷ 65536     		y = 0.591415405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482223510742188 × 2 - 1) × π
    -0.035552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11169298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591415405273438 × 2 - 1) × π
    -0.182830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.574379931247513
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11169298} λ = -0.11169298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.574379931247513))-π/2
    2×atan(0.563053892711201)-π/2
    2×0.512810121953169-π/2
    1.02562024390634-1.57079632675     		φ = -0.54517608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11169298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.399536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54517608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.236288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31603 KachelY 38759 -0.11169298 -0.54517608 -6.399536 -31.236288
    Oben rechts KachelX + 1 31604 KachelY 38759 -0.11159710 -0.54517608 -6.394043 -31.236288
    Unten links KachelX 31603 KachelY + 1 38760 -0.11169298 -0.54525806 -6.399536 -31.240986
    Unten rechts KachelX + 1 31604 KachelY + 1 38760 -0.11159710 -0.54525806 -6.394043 -31.240986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54517608--0.54525806) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dl = 522.294580000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54517608--0.54525806) × R
    8.1980000000037e-05 × 6371000     		dr = 522.294580000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11169298--0.11159710) × cos(-0.54517608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.855035994467372 × 6371000     		do = 522.300002673626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11169298--0.11159710) × cos(-0.54525806) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.854993479335995 × 6371000     		du = 522.274032242702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54517608)-sin(-0.54525806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855035994467372-0.854993479335995)×R²
    abs(-0.11159710--0.11169298)×4.25151313773187e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.25151313773187e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.25151313773187e-05×40589641000000     		ar = 272787.678575683m²