Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3160 / 3069
↖ ↑ ↗
← S 66.407955°
E 97.734375°		 ← 3 911.36 m → S 66.407955°
E 97.822266°		 →
↑
3 908.61 m
↓
↑
3 908.61 m
↓
S 66.443106°
E 97.734375°		 ← 3 905.87 m →
15 277 245 m²		 S 66.443106°
E 97.822266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7716064453125 y=0.7493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7716064453125 × 212)
    floor (0.7716064453125 × 4096)
    floor (3160.5)     		tx = 3160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7493896484375 × 212)
    floor (0.7493896484375 × 4096)
    floor (3069.5)     		ty = 3069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3160 / 3069 ti = "12/3160/3069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3160/3069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3160 ÷ 212
    3160 ÷ 4096     		x = 0.771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3069 ÷ 212
    3069 ÷ 4096     		y = 0.749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771484375 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70578664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.49853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56619438438647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70578664} λ = 1.70578664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56619438438647))-π/2
    2×atan(0.208838430793269)-π/2
    2×0.205879427086346-π/2
    0.411758854172693-1.57079632675     		φ = -1.15903747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70578664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.734375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15903747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.407955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3160 KachelY 3069 1.70578664 -1.15903747 97.734375 -66.407955
    Oben rechts KachelX + 1 3161 KachelY 3069 1.70732062 -1.15903747 97.822266 -66.407955
    Unten links KachelX 3160 KachelY + 1 3070 1.70578664 -1.15965097 97.734375 -66.443106
    Unten rechts KachelX + 1 3161 KachelY + 1 3070 1.70732062 -1.15965097 97.822266 -66.443106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15903747--1.15965097) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dl = 3908.60850000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15903747--1.15965097) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dr = 3908.60850000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70578664-1.70732062) × cos(-1.15903747) × R
    0.00153398000000005 × 0.400221794779465 × 6371000     		do = 3911.36222940334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70578664-1.70732062) × cos(-1.15965097) × R
    0.00153398000000005 × 0.399659496864673 × 6371000     		du = 3905.86689942812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15903747)-sin(-1.15965097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400221794779465-0.399659496864673)×R²
    abs(1.70732062-1.70578664)×0.000562297914792009×R²
    0.00153398000000005×0.000562297914792009×6371000²
    0.00153398000000005×0.000562297914792009×40589641000000     		ar = 15277244.5888787m²