Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31598 / 38766
↖ ↑ ↗
← S 31.269161°
W  6.427002°		 ← 522.12 m → S 31.269161°
W  6.421509°		 →
↑
522.10 m
↓
↑
522.10 m
↓
S 31.273856°
W  6.427002°		 ← 522.09 m →
272 593 m²		 S 31.273856°
W  6.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482154846191406 y=0.591529846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482154846191406 × 216)
    floor (0.482154846191406 × 65536)
    floor (31598.5)     		tx = 31598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591529846191406 × 216)
    floor (0.591529846191406 × 65536)
    floor (38766.5)     		ty = 38766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31598 / 38766 ti = "16/31598/38766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31598/38766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31598 ÷ 216
    31598 ÷ 65536     		x = 0.482147216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38766 ÷ 216
    38766 ÷ 65536     		y = 0.591522216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482147216796875 × 2 - 1) × π
    -0.03570556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11217235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.18304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.575051047842194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11217235} λ = -0.11217235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.575051047842194))-π/2
    2×atan(0.56267614467077)-π/2
    2×0.512523257467134-π/2
    1.02504651493427-1.57079632675     		φ = -0.54574981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11217235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.427002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54574981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.269161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31598 KachelY 38766 -0.11217235 -0.54574981 -6.427002 -31.269161
    Oben rechts KachelX + 1 31599 KachelY 38766 -0.11207647 -0.54574981 -6.421509 -31.269161
    Unten links KachelX 31598 KachelY + 1 38767 -0.11217235 -0.54583176 -6.427002 -31.273856
    Unten rechts KachelX + 1 31599 KachelY + 1 38767 -0.11207647 -0.54583176 -6.421509 -31.273856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54574981--0.54583176) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dl = 522.103449999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54574981--0.54583176) × R
    8.19499999999973e-05 × 6371000     		dr = 522.103449999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11217235--0.11207647) × cos(-0.54574981) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.854738335365814 × 6371000     		do = 522.118177170979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11217235--0.11207647) × cos(-0.54583176) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.854695795600219 × 6371000     		du = 522.092191692207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54574981)-sin(-0.54583176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854738335365814-0.854695795600219)×R²
    abs(-0.11207647--0.11217235)×4.25397655949844e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.25397655949844e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.25397655949844e-05×40589641000000     		ar = 272592.918206992m²