Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3159 / 3065
↖ ↑ ↗
← S 66.266856°
E 97.646485°		 ← 3 933.41 m → S 66.266856°
E 97.734375°		 →
↑
3 930.65 m
↓
↑
3 930.65 m
↓
S 66.302206°
E 97.646485°		 ← 3 927.89 m →
15 450 002 m²		 S 66.302206°
E 97.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7713623046875 y=0.7484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7713623046875 × 212)
    floor (0.7713623046875 × 4096)
    floor (3159.5)     		tx = 3159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7484130859375 × 212)
    floor (0.7484130859375 × 4096)
    floor (3065.5)     		ty = 3065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3159 / 3065 ti = "12/3159/3065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3159/3065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3159 ÷ 212
    3159 ÷ 4096     		x = 0.771240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3065 ÷ 212
    3065 ÷ 4096     		y = 0.748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.771240234375 × 2 - 1) × π
    0.54248046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.70425266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.49658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56005846123511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.70425266} λ = 1.70425266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56005846123511))-π/2
    2×atan(0.210123786745587)-π/2
    2×0.207110749591083-π/2
    0.414221499182167-1.57079632675     		φ = -1.15657483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.70425266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.646485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15657483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.266856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3159 KachelY 3065 1.70425266 -1.15657483 97.646485 -66.266856
    Oben rechts KachelX + 1 3160 KachelY 3065 1.70578664 -1.15657483 97.734375 -66.266856
    Unten links KachelX 3159 KachelY + 1 3066 1.70425266 -1.15719179 97.646485 -66.302206
    Unten rechts KachelX + 1 3160 KachelY + 1 3066 1.70578664 -1.15719179 97.734375 -66.302206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15657483--1.15719179) × R
    0.000616959999999889 × 6371000     		dl = 3930.65215999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15657483--1.15719179) × R
    0.000616959999999889 × 6371000     		dr = 3930.65215999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.70425266-1.70578664) × cos(-1.15657483) × R
    0.00153397999999982 × 0.402477387288944 × 6371000     		do = 3933.40610472786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.70425266-1.70578664) × cos(-1.15719179) × R
    0.00153397999999982 × 0.401912527077093 × 6371000     		du = 3927.88573345787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15657483)-sin(-1.15719179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402477387288944-0.401912527077093)×R²
    abs(1.70578664-1.70425266)×0.000564860211850426×R²
    0.00153397999999982×0.000564860211850426×6371000²
    0.00153397999999982×0.000564860211850426×40589641000000     		ar = 15450002.3621496m²