Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31589 / 38837
↖ ↑ ↗
← S 31.601931°
W  6.476440°		 ← 520.21 m → S 31.601931°
W  6.470948°		 →
↑
520.19 m
↓
↑
520.19 m
↓
S 31.606609°
W  6.476440°		 ← 520.19 m →
270 604 m²		 S 31.606609°
W  6.470948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482017517089844 y=0.592613220214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482017517089844 × 216)
    floor (0.482017517089844 × 65536)
    floor (31589.5)     		tx = 31589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592613220214844 × 216)
    floor (0.592613220214844 × 65536)
    floor (38837.5)     		ty = 38837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31589 / 38837 ti = "16/31589/38837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31589/38837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31589 ÷ 216
    31589 ÷ 65536     		x = 0.482009887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38837 ÷ 216
    38837 ÷ 65536     		y = 0.592605590820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.482009887695312 × 2 - 1) × π
    -0.035980224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11303521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592605590820312 × 2 - 1) × π
    -0.185211181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.581858087588242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11303521} λ = -0.11303521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.581858087588242))-π/2
    2×atan(0.558858992283073)-π/2
    2×0.509619288184103-π/2
    1.01923857636821-1.57079632675     		φ = -0.55155775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11303521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.476440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55155775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.601931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31589 KachelY 38837 -0.11303521 -0.55155775 -6.476440 -31.601931
    Oben rechts KachelX + 1 31590 KachelY 38837 -0.11293934 -0.55155775 -6.470948 -31.601931
    Unten links KachelX 31589 KachelY + 1 38838 -0.11303521 -0.55163940 -6.476440 -31.606609
    Unten rechts KachelX + 1 31590 KachelY + 1 38838 -0.11293934 -0.55163940 -6.470948 -31.606609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55155775--0.55163940) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dl = 520.192150000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55155775--0.55163940) × R
    8.16500000000442e-05 × 6371000     		dr = 520.192150000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11303521--0.11293934) × cos(-0.55155775) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851709271996507 × 6371000     		do = 520.213606931059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11303521--0.11293934) × cos(-0.55163940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.851666483364243 × 6371000     		du = 520.187472157776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55155775)-sin(-0.55163940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851709271996507-0.851666483364243)×R²
    abs(-0.11293934--0.11303521)×4.27886322643678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27886322643678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27886322643678e-05×40589641000000     		ar = 270604.237247371m²