Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31588 / 38349
↖ ↑ ↗
← S 29.291190°
W  6.481933°		 ← 532.70 m → S 29.291190°
W  6.476440°		 →
↑
532.74 m
↓
↑
532.74 m
↓
S 29.295981°
W  6.481933°		 ← 532.67 m →
283 783 m²		 S 29.295981°
W  6.476440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.482002258300781 y=0.585166931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.482002258300781 × 216)
    floor (0.482002258300781 × 65536)
    floor (31588.5)     		tx = 31588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585166931152344 × 216)
    floor (0.585166931152344 × 65536)
    floor (38349.5)     		ty = 38349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31588 / 38349 ti = "16/31588/38349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31588/38349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31588 ÷ 216
    31588 ÷ 65536     		x = 0.48199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38349 ÷ 216
    38349 ÷ 65536     		y = 0.585159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48199462890625 × 2 - 1) × π
    -0.0360107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11313108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585159301757812 × 2 - 1) × π
    -0.170318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535071673559067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11313108} λ = -0.11313108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535071673559067))-π/2
    2×atan(0.585627314646618)-π/2
    2×0.529784311152602-π/2
    1.0595686223052-1.57079632675     		φ = -0.51122770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11313108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.481933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51122770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.291190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31588 KachelY 38349 -0.11313108 -0.51122770 -6.481933 -29.291190
    Oben rechts KachelX + 1 31589 KachelY 38349 -0.11303521 -0.51122770 -6.476440 -29.291190
    Unten links KachelX 31588 KachelY + 1 38350 -0.11313108 -0.51131132 -6.481933 -29.295981
    Unten rechts KachelX + 1 31589 KachelY + 1 38350 -0.11303521 -0.51131132 -6.476440 -29.295981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51122770--0.51131132) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dl = 532.743020000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51122770--0.51131132) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dr = 532.743020000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11313108--0.11303521) × cos(-0.51122770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		do = 532.69520335486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11313108--0.11303521) × cos(-0.51131132) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872103600873606 × 6371000     		du = 532.670213586548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51122770)-sin(-0.51131132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872144514869497-0.872103600873606)×R²
    abs(-0.11303521--0.11313108)×4.0913995890568e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0913995890568e-05×40589641000000     		ar = 283782.994978042m²