Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31587 / 13721
↖ ↑ ↗
← N 71.703368°
W  6.487427°		 ← 191.77 m → N 71.703368°
W  6.481933°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 71.701644°
W  6.487427°		 ← 191.79 m →
36 777 m²		 N 71.701644°
W  6.481933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481986999511719 y=0.209373474121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481986999511719 × 216)
    floor (0.481986999511719 × 65536)
    floor (31587.5)     		tx = 31587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209373474121094 × 216)
    floor (0.209373474121094 × 65536)
    floor (13721.5)     		ty = 13721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31587 / 13721 ti = "16/31587/13721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31587/13721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31587 ÷ 216
    31587 ÷ 65536     		x = 0.481979370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13721 ÷ 216
    13721 ÷ 65536     		y = 0.209365844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481979370117188 × 2 - 1) × π
    -0.036041259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11322696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209365844726562 × 2 - 1) × π
    0.581268310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82610825412642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11322696} λ = -0.11322696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82610825412642))-π/2
    2×atan(6.20967310290851)-π/2
    2×1.41112809247893-π/2
    2.82225618495785-1.57079632675     		φ = 1.25145986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11322696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.487427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25145986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.703368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31587 KachelY 13721 -0.11322696 1.25145986 -6.487427 71.703368
    Oben rechts KachelX + 1 31588 KachelY 13721 -0.11313108 1.25145986 -6.481933 71.703368
    Unten links KachelX 31587 KachelY + 1 13722 -0.11322696 1.25142976 -6.487427 71.701644
    Unten rechts KachelX + 1 31588 KachelY + 1 13722 -0.11313108 1.25142976 -6.481933 71.701644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25145986-1.25142976) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dl = 191.767100000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25145986-1.25142976) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dr = 191.767100000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11322696--0.11313108) × cos(1.25145986) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.313936642194877 × 6371000     		do = 191.768662510984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11322696--0.11313108) × cos(1.25142976) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.313965220315086 × 6371000     		du = 191.786119498009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25145986)-sin(1.25142976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313936642194877-0.313965220315086)×R²
    abs(-0.11313108--0.11322696)×2.85781202081781e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.85781202081781e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.85781202081781e-05×40589641000000     		ar = 36776.5941214556m²