Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31586 / 38722
↖ ↑ ↗
← S 31.062345°
W  6.492920°		 ← 523.20 m → S 31.062345°
W  6.487427°		 →
↑
523.19 m
↓
↑
523.19 m
↓
S 31.067050°
W  6.492920°		 ← 523.18 m →
273 727 m²		 S 31.067050°
W  6.487427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31586 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481971740722656 y=0.590858459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481971740722656 × 216)
    floor (0.481971740722656 × 65536)
    floor (31586.5)     		tx = 31586
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590858459472656 × 216)
    floor (0.590858459472656 × 65536)
    floor (38722.5)     		ty = 38722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31586 / 38722 ti = "16/31586/38722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31586/38722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31586 ÷ 216
    31586 ÷ 65536     		x = 0.481964111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38722 ÷ 216
    38722 ÷ 65536     		y = 0.590850830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481964111328125 × 2 - 1) × π
    -0.03607177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11332283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.18170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.570832600675629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11332283} λ = -0.11332283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570832600675629))-π/2
    2×atan(0.565054777800671)-π/2
    2×0.514328063008019-π/2
    1.02865612601604-1.57079632675     		φ = -0.54214020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11332283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54214020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.062345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31586 KachelY 38722 -0.11332283 -0.54214020 -6.492920 -31.062345
    Oben rechts KachelX + 1 31587 KachelY 38722 -0.11322696 -0.54214020 -6.487427 -31.062345
    Unten links KachelX 31586 KachelY + 1 38723 -0.11332283 -0.54222232 -6.492920 -31.067050
    Unten rechts KachelX + 1 31587 KachelY + 1 38723 -0.11322696 -0.54222232 -6.487427 -31.067050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54214020--0.54222232) × R
    8.21200000000744e-05 × 6371000     		dl = 523.186520000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54214020--0.54222232) × R
    8.21200000000744e-05 × 6371000     		dr = 523.186520000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11332283--0.11322696) × cos(-0.54214020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856606364006803 × 6371000     		do = 523.204690839512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11332283--0.11322696) × cos(-0.54222232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856563989622615 × 6371000     		du = 523.178809083889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54214020)-sin(-0.54222232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856606364006803-0.856563989622615)×R²
    abs(-0.11322696--0.11332283)×4.2374384188304e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2374384188304e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2374384188304e-05×40589641000000     		ar = 273726.87110914m²