Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31584 / 15392
↖ ↑ ↗
← N 68.592486°
W  6.503906°		 ← 222.96 m → N 68.592486°
W  6.498413°		 →
↑
222.92 m
↓
↑
222.92 m
↓
N 68.590482°
W  6.503906°		 ← 222.98 m →
49 705 m²		 N 68.590482°
W  6.498413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481941223144531 y=0.234870910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481941223144531 × 216)
    floor (0.481941223144531 × 65536)
    floor (31584.5)     		tx = 31584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234870910644531 × 216)
    floor (0.234870910644531 × 65536)
    floor (15392.5)     		ty = 15392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31584 / 15392 ti = "16/31584/15392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31584/15392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31584 ÷ 216
    31584 ÷ 65536     		x = 0.48193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15392 ÷ 216
    15392 ÷ 65536     		y = 0.23486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48193359375 × 2 - 1) × π
    -0.0361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11351458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23486328125 × 2 - 1) × π
    0.5302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.66590313559619
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11351458} λ = -0.11351458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.66590313559619))-π/2
    2×atan(5.29044908571156)-π/2
    2×1.38398052988635-π/2
    2.76796105977269-1.57079632675     		φ = 1.19716473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11351458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19716473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.592486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31584 KachelY 15392 -0.11351458 1.19716473 -6.503906 68.592486
    Oben rechts KachelX + 1 31585 KachelY 15392 -0.11341870 1.19716473 -6.498413 68.592486
    Unten links KachelX 31584 KachelY + 1 15393 -0.11351458 1.19712974 -6.503906 68.590482
    Unten rechts KachelX + 1 31585 KachelY + 1 15393 -0.11341870 1.19712974 -6.498413 68.590482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19716473-1.19712974) × R
    3.4989999999846e-05 × 6371000     		dl = 222.921289999019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19716473-1.19712974) × R
    3.4989999999846e-05 × 6371000     		dr = 222.921289999019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11351458--0.11341870) × cos(1.19716473) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.364998876943627 × 6371000     		do = 222.960104179368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11351458--0.11341870) × cos(1.19712974) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.365031452688673 × 6371000     		du = 222.980003121441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19716473)-sin(1.19712974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.364998876943627-0.365031452688673)×R²
    abs(-0.11341870--0.11351458)×3.25757450465591e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.25757450465591e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.25757450465591e-05×40589641000000     		ar = 49704.7719961568m²