Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31583 / 13728
↖ ↑ ↗
← N 71.691293°
W  6.509399°		 ← 191.87 m → N 71.691293°
W  6.503906°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
N 71.689567°
W  6.509399°		 ← 191.89 m →
36 821 m²		 N 71.689567°
W  6.503906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481925964355469 y=0.209480285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481925964355469 × 216)
    floor (0.481925964355469 × 65536)
    floor (31583.5)     		tx = 31583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209480285644531 × 216)
    floor (0.209480285644531 × 65536)
    floor (13728.5)     		ty = 13728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31583 / 13728 ti = "16/31583/13728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31583/13728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31583 ÷ 216
    31583 ÷ 65536     		x = 0.481918334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13728 ÷ 216
    13728 ÷ 65536     		y = 0.20947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481918334960938 × 2 - 1) × π
    -0.036163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.11361045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20947265625 × 2 - 1) × π
    0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11361045} λ = -0.11361045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82543713753174))-π/2
    2×atan(6.2055070863394)-π/2
    2×1.41102271486491-π/2
    2.82204542972981-1.57079632675     		φ = 1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11361045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.509399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31583 KachelY 13728 -0.11361045 1.25124910 -6.509399 71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 31584 KachelY 13728 -0.11351458 1.25124910 -6.503906 71.691293
    Unten links KachelX 31583 KachelY + 1 13729 -0.11361045 1.25121898 -6.509399 71.689567
    Unten rechts KachelX + 1 31584 KachelY + 1 13729 -0.11351458 1.25121898 -6.503906 71.689567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25124910-1.25121898) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dl = 191.894519999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25124910-1.25121898) × R
    3.01199999999113e-05 × 6371000     		dr = 191.894519999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11361045--0.11351458) × cos(1.25124910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 191.870878914645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11361045--0.11351458) × cos(1.25121898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314165335139799 × 6371000     		du = 191.888344461336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25124910)-sin(1.25121898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314165335139799)×R²
    abs(-0.11351458--0.11361045)×2.85951152733666e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85951152733666e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85951152733666e-05×40589641000000     		ar = 36820.6459854291m²